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Ecricome 2001 e ECRICOME Banque d ? épreuves écrites communes aux concours des Ecoles ESC Bordeaux ESC Marseille-Provence ESC Reims ESC Rouen ICN Nancy CONCOURS D ? ADMISSION Option économique MATHÉMATIQUES Mardi avril de h à h Durée heures Aucun instrume

ECRICOME Banque d ? épreuves écrites communes aux concours des Ecoles ESC Bordeaux ESC Marseille-Provence ESC Reims ESC Rouen ICN Nancy CONCOURS D ? ADMISSION Option économique MATHÉMATIQUES Mardi avril de h à h Durée heures Aucun instrument de calcul n ? est autorisé Aucun document n ? est autorisé Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie à mettre en évidence les principaux résultats à respecter les notations de l ? énoncé et à donner des démonstrations complètes mais brèves de leurs a rmations EXERCICE Dans cet exercice on étudie l ? évolution au cours du temps d ? un titre dans une bourse de valeurs Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de la matrice a a M a a a a aA a a a o? a représente un nombre réel Montrer que pour tous réels a b on a M a M b M a b ab En déduire les valeurs de a pour lesquelles la matrice M a est inversible et exprimer son inverse Justi ? er le fait que M a est diagonalisable Déterminer le réel a non nul tel que M a M a On considère les matrices P M a et Q I P o? I désigne la matrice carrée unité d ? ordre C a Montrer qu ? il existe un réel que l ? on exprimera en fonction de a tel que M a P Q b Calculer P QP P Q Q c Pour tout entier naturel n non nul montrer que M a n s ? écrit comme combinaison linéaire de P et Q d Expliciter alors la matrice M a n Évolution d ? un titre boursier au cours du temps Dans la suite de l ? exercice on suppose que a On dé ? nit des suites pn n N qn n N rn n N par leur premier terme p q r et les relations de récurrence qrnn apn apn aqn a qn arn a rn a Exprimer pn qn rn en fonction de n p q r b Étudier la convergence de ces suites Dans une bourse de valeurs un titre donné peut monter rester stable ou baisser Dans un modèle mathématique on considère que ?? le premier jour le titre est stable ?? si un jour n le titre monte le jour n il montera avec la probabilité restera stable avec la probabilité et baissera avec la probabilité ?? si un jour n le titre est stable le jour n il montera avec la probabilité restera stable avec la probabilité et baissera avec la probabilité ? ? ?? si un jour n le titre baisse le jour n il montera avec la probabilité restera stable avec la probabilité et baissera avec la probabilité On note Mn respectivement Sn respectivement Bn l ? événement ??le titre donné monte respectivement reste stable respectivement baisse le jour n ? a Exprimer les probabilités de hausse de stabilité et