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L3phy mnp2 projet numerov Université de Caen Basse-Normandie Licence de Physique niveau L Méthodes Numériques pour la Physique - Projet Résolution de l'équation de Schr? dinger indépendante du temps par la méthode de Numerov Résumé L'objectif de ce projet

Université de Caen Basse-Normandie Licence de Physique niveau L Méthodes Numériques pour la Physique - Projet Résolution de l'équation de Schr? dinger indépendante du temps par la méthode de Numerov Résumé L'objectif de ce projet est de rechercher et d'étudier les solutions de l'équation de Schr? dinger indépendante du temps à une dimension pour les états liés d'une particule en interaction avec un potentiel E quelconque Le projet est divisé en trois séquences de di culté graduelle La première séquence permet de découvrir et implémenter les principes de base de l'algorithme de Numerov et de comprendre la procédure de résolution du problème sur la base d'un cas physique élémentaire On y utilise des C programmes simples ne justi ant pas l'utilisation de techniques de programmation avancées La deuxième séquence introduit des techniques plus élaborées programmation orientée objet généricité de manière à utiliser le langage C pour permettre l'écriture de modules et de programmes capables de traiter de manière versatile de nombreux cas physiques au moyen d'un même outil votre projet numérique Le troisième et dernière séquence consiste à étudier un cas concret et en trouver les solutions de manière automatique en mettant en ? uvre les techniques introduites précédemment Ce sera l'occasion d'illustrer des comportements fondamentaux de quelques systèmes quantiques d'intérêt physique CTable des matières Introduction Formulation mathématique Récurrence Problème Principe de la méthode de résolution Algorithme Etudes de cas Séquence approche basique du problème Problème simple La question des unités physiques Exercice Calcul numérique des dérivées à gauche et à droite Exercice Exercice Conclusion Séquence approche générique du problème Introduction Modélisation du problème Modélisation du système Exercice Interface de la fonction potentiel Exercice C Vers une interface uni ée de la fonction potentiel L'interface de la fonction potentiel selon C Exercice Utilisation des pointeurs de fonctions Exercice L'interface de la fonction potentiel selon C objets fonction Exercice L'interface de la fonction potentiel selon C héritage Exercice L'interface de la fonction potentiel selon C classe abstraite Exercice Retour sur les unités Exercice modélisation C du système physique Modélisation de la solution Exercice implémentation de la classe solution Modélisation de l'algorithme Exercice implémentation de la classe numerov algo Conclusion C Séquence étude spéci que Page C Introduction Formulation mathématique L'équation de Schr? dinger indépendante du temps à une dimension s'écrit ainsi ? m d pxq dx V pxq pxq ?? E pxq o? ?? est la constante de Planck réduite ?? m est la masse de la particule ?? x la variable de position ?? E son énergie totale ?? V pxq le potentiel auquel la particule est soumise en x ?? pxq la fonction d'onde solution de l'équation dépendant de x Elle peut également s'écrire sous la forme de Sturm-Liouville on obtient alors rppxqu pxqs qpxqupxq ?? spxq pxq m rE ? V pxqs pxq ?? o? on reconna? t la forme de Sturm-Liouville avec ppxq ?? qpxq ?? m rE ? V pxqs spxq ?? upxq ?? pxq u pxq ?? d pxq dx ?? pxq u pxq ??