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Laboratoire de des et des mecanique systemes procedes

LMSP Laboratoire de Mécanique des Systèmes et des Procédés ENSAM Bd de l'Hôpital Paris FRANCE CMécanique non-linéaire et éléments ?nis Fascicule ? Théorème des Puissances Virtuelles TPV ou théorème des produits de test ? Modèles simpli ?és de MC ? Formulation lagrangienne générale Gérard Co ?gnal Professeur des Universités novembre version électronique e gerard co ?gnal paris ensam fr http www paris ensam fr lmsp LMSP ENSAM Bd de l'Hôpital PARIS FRANCE tel fax CMaisons-Alfort novembre Un grand merci aux professeurs qui ont su me faire comprendre et partager leur passion pour la mécanique et les éléments ?nis et en particulier G AYMARD mon professeur de physique au Lycée d'Arsonval M MAURICE pour ses enseignements sur la résistance des matériaux et l'élasticité linéaire au centre ENSAM d'Angers Merci à Hervé GACHON qui m'a fait découvrir les éléments ?nis et la mécanique non- linéaire au centre ENSAM de Paris et dont l'apport n'a pas cessé pendant les longues années que nous avons passées ensemble dans le Laboratoire o? il m'a accueilli comme assistant me faisant ainsi découvrir le plaisir de l'Enseignement Merci en ?n à Jean LEMAITRE et à Pierre LADEVEZE qui m'ont permis d'approfondir au LMT de très nombreux points dans un environnement Recherche très riche Merci aussi à mes anciens étudiants ou aux lecteurs des versions électroniques qui au hasard des rencontres ou des courriers electroniques me permettent d'imaginer que ce travail bénévole est utile et m'invitent ainsi à le poursuivre et à l'améliorer à mes parents à Laurent à mon épouse Marie-Claire pour sa patience et sans qui tout ce travail ne pourrait pas exister à Thomas Merci à Philippe LORONG qui a relu avec beaucoup d'attention les versions antérieures de ce document pour ses corrections et nombreuses suggestions Comme à chaque nouvelle édition je ne lui ai pas encore donné l'occasion de relire celle-ci Comme d'habitude erreurs oublis ou coquilles existent donc sûrement encore en très petit nombre ? merci de me les faire conna? tre a ?n de m'aider à les corriger dans les éditions ultérieures Gérard Co ?gnal ? Gérard Co ?gnal CA propos de ce fascicule et des autres Après une très grande hésitation j'ai décidé de mettre à disposition de tout lecteur intéressé cet ensemble de fascicules Il s'agit d'un ensemble de chapitres rédigés et enrichis progressivement avec des notations cohérentes et précises beaucoup trop au goût de certains avec parfois de grands manques lorsque je n'ai pas eu l'occasion d'enseigner ou d'utiliser su ?samment la partie ou alors que le temps m'a manqué pour enrichir les quelques centaines de pages déjà écrites Ne cherchez pas de remerciements à une éventuelle aide pour la frappe je suis personnellement responsable de toutes les coquilles et erreurs de mise en page mon établissement ne mettant personne à disposition des enseignants pour éditer des polycopiés La rédaction est imparfaite incomplète et contient peut-être encore de-ci de-là quelques inexactitudes je compte sur la vigilance des lecteurs pour m'en informer par les moyens modernes qui me permettent aujourd'hui