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Mathappli a la biologie Quelques notions de Mathématique utiles pour la Modélisation en Biologie Jean-Pierre Masson Nov C L ? expérience nous montre aujourd ? hui que les mathématiques utiles dans la modélisation en biologie ?? en Biomathématiques ?? font

Quelques notions de Mathématique utiles pour la Modélisation en Biologie Jean-Pierre Masson Nov C L ? expérience nous montre aujourd ? hui que les mathématiques utiles dans la modélisation en biologie ?? en Biomathématiques ?? font appel non seulement aux domaines du Calcul des probabilités et de la statistique qui s ? enrichissent continuellement mais encore à l ? ensemble des mathématiques appliquées et de leurs applications Les notes qui suivent sont courtes et diverses Elles ont un double objectif Alimenter la formation Modélisation de phénomènes biologiques à l ? aide d ? équations di ?érentielles ? dispensée en Ecole doctorale Vie Agro Santé ? commune à l ? Université de Rennes et à l ? Agrocampus Rennes par JeanSébastien Pierre et Jean-Pierre Masson Alimenter le module de Formation Ouverte et A Distance Biomath module orienté Dynamique des populations ? en cours de construction par l ? équipe constituée de Sylvaine Bitteur Philippe Brulé Jean-Pierre Masson et JeanSébastien Pierre équipe à laquelle s ? est joint Jacques Mallard Plan Quelques dynamiques p ère dynamique Dynamique exponentielle ème dynamique Les lapins de Fibonacci Equations aux di ?érences ème dynamique Calcul de la racine carrée d ? un nombre positif Structures p Fonction limite continuité condition de Lipschitz p Suites limites convergences de variables aléatoires p Dérivation équations di ?érentielles p Quelques résultats fondamentaux relatifs aux Equations Di ?érentielles p Les fonctions exponentielles p Un exemple de modèle à compartiment en pharmacocinétique p Espérance Espérance conditionnelle p Le mouvement Brownien Dé ?nition et quelques propriétés p Quelques notions sur les intégrales p Croissance exponentielle bruitée p C Quelques dynamiques Une première dynamique Dynamique exponentielle L ? origine du jeu d ? échecs est encore mal connue La légende rapporte que son inventeur avait souhaité recevoir comme récompense le nombre de grains de blé obtenu en procédant de la manière suivante Placer un grain sur la première case Passer à la case suivante et placer dans cette case le double des grains de la case qui la précède et ainsi de suite Terminer la procédure après avoir rempli la dernière et ième case Savait-il que le résultat est astronomique Il est pourtant inférieur à et de l ? ordre de Cette première dynamique est exactement du même type nous permettons simplement au temps de s ? écouler sans limite Règle du jeu Un individu est immortel A chaque temps n l ? e ?ectif de la population est le double de l ? e ?ectif au temps précédent n ?? Au temps la population est constituée d ? un seul individu Problème Quelle est la taille de la population au temps n n Solution On note xn la taille de la population au temps n n x x x x x x xn xn ?? Une récurrence immédiate nous montre que xn n en ln ek n avec k ln ?? e ?? Ce modèle dynamique est déterministe et discret dans le temps C ? est de plus un modèle de rétroaction ou