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Methode des elements finis wikipedia

Méthode des éléments ?nis En analyse numérique la méthode des éléments ?nis MEF ou FEM pour ?nite element method en anglais est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles Celles-ci peuvent par exemple représenter analytiquement le comportement dynamique de certains systèmes physiques mécaniques thermodynamiques acoustiques etc Concrètement cela permet par exemple de calculer numériquement le comportement d'objets même très complexes à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire mouvement d'une corde secouée par l'un de ses bouts comportement d'un uide arrivant à grande vitesse sur un obstacle déformation d'une structure métallique etc Solution bidimensionnelle d'une équation magnétostatique obtenue par éléments ?nis les lignes donnent la direction du champ et la couleur son intensité Maillage utilisé pour l'image du haut le maillage est plus resserré autour de la zone d'intérêt Simulation numérique d'un essai de choc sur une voiture les cellules utilisées pour le maillage sont visibles sur la surface du véhicule CSommaire Introduction Méthode des éléments ?nis Principe général Dimensions Cadre algébrique analytique et topologique Cas organique Hypothèses Formulation faible Notations et cadre général Choix d'un maillage et discrétisation Choix d'un maillage Dé ?nition formelle Fonctions de base Quelques éléments classiques Discrétisation Éventuelle deuxième discrétisation Problème sous forme matricielle Algorithme Condition de Neumann Exemples issus de problèmes physiques Historique Exemple de problème discret un réseau électrique Dé ?nition d'un élément ?ni Application de la méthode des éléments ?nis à la mécanique Dé ?nitions et notations Équations fondamentales Exemple de formulation barre en traction Formulation générale méthode directe Éléments ?nis en contrainte Étude des fonctions N x Les éléments isoparamétriques Interpolation de la géométrie Coordonnées locales cas D Élément isoparamétrique Autres classes d'éléments Évaluation de K Béné ?ce de l'approche Cas particulier les éléments axisymétriques Processus de calcul cas statique Logiciels de calcul aux éléments ?nis Notes et références Voir aussi CArticles connexes Bibliographie Liens externes Introduction La méthode des éléments ?nis fait partie des outils de mathématiques appliquées Il s'agit de mettre en place à l'aide des principes hérités de la formulation variationnelle ou formulation faible un algorithme discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d ? une équation aux dérivées partielles ou EDP sur un domaine compact avec conditions aux bords et ou dans l'intérieur du compact On parle couramment de conditions de type Dirichlet valeurs aux bords ou Neumann gradients aux bords ou de Robin relation gradient valeurs sur le bord Il s'agit donc avant tout de la résolution approchée d'un problème o? gr? ce à la formulation variationnelle les solutions du problème véri ?ent des conditions d'existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et o? une discrétisation permet de trouver une solution approchée Comme de nombreuses autres méthodes numériques outre l'algorithme de résolution en soi se posent les questions de qualité de la discrétisation existence de solutions unicité de la solution stabilité convergence et bien sûr mesure d'erreur entre une solution discrète et une solution unique du problème initial La partie va présenter le