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Optimisation mathematique avec applications en imagerie

Université de Sherbrooke Optimisation mathématique avec applications en imagerie Jean-Pierre Dussault mai C COptimisation mathématique avec applications en imagerie Jean-Pierre Dussault mai ?Jean-Pierre Dussault Ce manuscrit est mis à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d ? Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions International Professeur titulaire département d ? Informatique Université de Sherbrooke Sherbrooke Canada J K R C CTable des matières Préface xiii Notation Introduction I Motivation Modélisation Premier modèle simple Modéliser avec AMPL Modélisation dans Julia Normes Di ?érentes normes Convexité et di ?érentiabilité Notions de convexité Types des modèles Types de minima Distances minimales Droites Paraboles Exercices géométriques Sommes de distances minimales Droite Parabole i Cii TABLE DES MATIÈRES Ajustements de modèles aux données Problèmes inverses Problèmes inverses en traitement d ? images Problèmes inverses en contrôle Problèmes issus de la physique Tous les exercices du chapitres II Optimisation di ?érentiable sans contrainte Préliminaires Optimisation Types d ? optima Optima locaux et globaux Optima stricts Optima isolés Remarques Conditions d ? optimalité Conditions pour un point stationnaire Conditions pour un optimum Algorithmes de descente Réduction d ? intervalle avec f Réduction d ? intervalles sans utiliser la dérivée Algorithmes d ? approximation polynomiale Approximation quadratique de la fonction f Approximation linéaire de la fonction f Approximation cubique de la fonction f Utilisation de l ? approximation cubique de f Analyse asymptotique Notation ??grand O ? et ??petit o ? Vitesse de convergence d ? algorithmes itératifs Convergence locale quadratique de l ? itération de Newton Analyse de l ? itération de Newton Preuve concise de la convergence quadratique Preuve détaillée de la convergence quadratique Analyse des approximations polynômiales Ordre de convergence de la méthode de la sécante Ordre de convergence de l ? approximation cubique de f Algorithme combiné Algorithme de Newton modi ?é CTABLE DES MATIÈRES iii Région de con ?ance Organisation des chapitres Tous les exercices du chapitres Optimisation locale de fonctions di ?érentiables sans contrainte Formulation du problème Conditions d ? optimalité Analyse du problème à une seule variable Conditions d ? optimalité pour un problème à n variables Déduction d ? une classe d ? algorithmes itératifs Recherche de points stationnaires Conditions pour la convergence Recherche de minima locaux faibles Itération de Newton modi ?ée pour l ? optimisation Modi ?cation de la direction de Newton Analyse du pas pour la direction de Newton Convergence de la méthode de Newton modi ?ée Convergence de la méthode de Newton ?? régions de con ?ance Méthodes quasi-Newton Convergence globale Vitesse de convergence Fonctions objectif quadratiques Décomposition de Cholesky Algorithme du gradient conjugué Problèmes de moindres carrés Méthodes de descente pour les systèmes d ? équations Méthodes spécialisées aux moindres carrés Mises en ?uvre Mise en ?uvre de la direction de Newton modi ?ée Mise en ?uvre d ? algorithmes de régions de con ?ance Mise en ?uvre d ? un pas admissible Problèmes de très grande taille Gradient conjugué non-linéaire Newton tronqué Résumé Extensions et références Tous