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Paradoxe du carre manquant wikipedia

Paradoxe du carré manquant apparente démonstration géométrique d'un résultat impossible reposant sur une illusion d'optique En géométrie le paradoxe du carré manquant est une apparente démonstration géométrique d'un résultat impossible reposant sur une illusion d'optique CLe paradoxe du carré manquant en animation Le paradoxe et son explication Le paradoxe du carré manquant Si on découpe un triangle selon un quadrillage de telle sorte que plusieurs reconstructions du triangle soient possibles alors il y a certaines Cconstructions o? il manque un carré unitaire C'est en e ?et très étonnant car l'aire du triangle peut être décomposée c'est la somme des carrés qui le composent - par extension la somme des carrés qui composent les formes de base Dans notre exemple on décompose un triangle rectangle dont la longueur de la base et de la hauteur valent respectivement et en quatre régions Vert carrés Jaune carrés Bleu carrés CRouge carrés Cela donne un triangle d'aire Or si on applique la formule de l'aire au triangle on obtient ? Finalement la surface manquante ? ne fait que compenser l'écart entre la légère convexité et la légère concavité des fausses hypoténuses des prétendus triangles Le triangle bleu et le triangle rouge n'ayant pas la même pente la prétendue hypoténuse de la première ?gure est concave tandis que l'autre est convexe CCette construction géométrique est liée à la suite de Fibonacci En e ?et la di ?érence entre le produit de deux termes consécutifs de cette suite ici et et le produit des deux termes adjacents ici et vaut toujours On peut donc réaliser sur le même principe de faux triangles de côtés et et et comme ici et etc Autres constructions analogues CEncore un carré manquant La dissection de Sam Loyd Une variante de cette idée montrée dans l'animation à gauche utilise quatre quadrilatères et un petit carré quand on fait pivoter les quadrilatères ils comblent le carré central bien que l'aire totale de la ?gure semble inchangée Ce paradoxe apparent s'explique par le fait que le côté du nouveau carré est en fait un peu plus petit que celui du carré initial Si est Cl'angle entre les côtés opposés des quadrilatères alors le rapport des deux aires est donné par sec ?? Pour il vaut ce qui correspond à une di ?érence d'environ entre les côtés des deux grands carrés La décomposition de droite transformant un carré d'aire en un rectangle d'aire est due à Sam Loyd ici l'explication du paradoxe vient de ce que les côtés des pièces ne s'identi ?ent pas tout à fait laissant vide un mince parallélogramme d'aire unité au centre du rectangle Toutes ces démonstrations ? de résultats absurdes peuvent aussi être Cvues comme une incitation à se mé ?er des preuves sans mots des ?gures approximatives des jeux dans les dispositifs correspondants et à ne pas s'en contenter sans se convaincre qu'elles peuvent être rendues rigoureuses Notes Ou plutôt à son ?ls d'après Martin Gardner elle pourrait cependant être antérieure voir Sam Loyd's son's dissection en La