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Percolation du cafe exercice

Chapitre E ?coulements potentiels O Thual juin Sommaire Perte de charge E ?quation de Bernoulli Charge moyenne Loi de Darcy D Milieux poreux Loi de Darcy D E ?coulements con ?n ?es E ?coulements non con ?n ?es E ?coulements souterrains Puits art ?esien Approximation de Dupuit Applications et limitations C Chapitre E ?coulements potentiels Introduction Le sous-sol est constitu ?e d ? un m ?elange de terre et de graviers a travers lequel l ? eau s ? in ?ltre et circule Cette circulation est ici mod ?elis ?ee par des ?ecoulements potentiels en milieu poreux Ces ?ecoulements dont le champ de vitesse est le gradient d ? un potentiel se rencontrent en m ?ecanique des uides lorsque la vorticit ?e rotationnel de la vitesse peut etre n ?eglig ?ee C ? est le cas des ?ecoulements souterrains lents aux ?echelles grandes devant la taille des graviers Fig ?? Nappe phr ?eatique en contact avec une riviere ou un lac Photo NASA GSFC Les notions de base de l ? hydraulique souterraine sont pr ?esent ?ees dans ce chapitre a l ? aide d ? exemples simples repr ?esentatifs de problemes souterrains plus complexes Seuls les ?ecoulements lents c ? est-a-dire a faibles nombres de Reynolds dans des milieux poreux isotropes et homogenes sont consid ?er ?es La charge hydraulique des milieux poreux est pr ?esent ?ee avec l ? ?equation de CPerte de charge Bernoulli d ?eduite des ?equations de Navier-Stokes laminaires Comme la vitesse des ?ecoulements est petite la charge hydraulique est approxim ?ee par la hauteur pi ?ezom ?etrique La loi de Darcy qui postule une relation lin ?eaire entre le d ?ebit et la perte de charge est pr ?esent ?ee sur l ? exemple simple d ? un aquif ere con ?n ?e coulant dans une seule direction La g ?en ?eralisation de la loi de Darcy aux ?ecoulements tri-dimensionnels dans des milieux poreux montre que la charge peut etre vue comme le potentiel du champ de vitesse d ?ebitante En appliquant la conservation de la masse on montre que la perte de charge satisfait l ? ?equation de Laplace La compr ?ehension de la nature des conditions aux limites utilis ?ees pour r ?esoudre cette ?equation de Laplace est l ? un des points cl ?es de ce chapitre Plusieurs exemples sont pr ?esent ?es Perte de charge La loi de Darcy unidimensionnelle est pr ?esent ?ee ici Elle ?enonce que la vitesse d ?ebitante d ? un ?ecoulement dans un milieu poreux est proportionnelle a la perte de charge lin ?eique E ?quation de Bernoulli Nous prenons comme point de d ?epart les ?equations de Navier-Stokes incompressibles ? U div U U grad U F ?? grad p ? U ? t ? oules forces de volumes F ??g ez ??grad g z sont duesa la gravit ?e Consid ?erons une ligne de courant L allant d ? un point M a un point M En utilisant la relation U grad U