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Serie3 corrige Universit ?e Laval Facult ?e des sciences et de g ?enie D ?epartement de math ?ematiques et de statistique STT- Automne Emmanuelle Reny-Nolin Corrig ?e - S ?erie R ?egression lin ?eaire simple Exercice - Densit ?e europ ?eenne a Population

Universit ?e Laval Facult ?e des sciences et de g ?enie D ?epartement de math ?ematiques et de statistique STT- Automne Emmanuelle Reny-Nolin Corrig ?e - S ?erie R ?egression lin ?eaire simple Exercice - Densit ?e europ ?eenne a Population millions d'habitants Population en fonction de la super ?cie y x Super ?cie km On voit qu ? il y a probablement une relation lin ?eaire croissante entre la population et la super ?cie Par contre il est clair que la variance n ? est pas constante autour de la droite les r ?esidus a ?cheraient un entonnoir ouvert a droite On peut donc ajuster un modele lin ?eaire avec n ? importe quelle m ?ethode d ? estimation calculer l ? ?equation d ? une droite mais on ne peut pas associer de marge d ? erreur aux estimations des moindres carr ?es comme on le ferait si tous les postulats ?etaient respect ?es b Estimation de la densit ?e moyenne de la population en Europe i en calculant la moyenne des densit ?es yi xi i hab km Ce calcul donne un poids ?egal a chaque pays C ? est la moyenne des densit ?es des pays d ? Europe donc c ? est la densit ?e moyenne par pays Les petits pays ayant souvent une grande densit ?e ont plus de poids dans ce calcul ii en calculant la population totale des pays et en la divisant par la super ?cie totale des pays yi xi hab km i i Ce calcul donne un poids ?egal a chaque km de territoire Les grands pays ont plus de poids dans ce calcul Cette formule ne tient pas compte des divisions CUniversit ?e Laval Facult ?e des sciences et de g ?enie D ?epartement de math ?ematiques et de statistique STT- Automne Emmanuelle Reny-Nolin politiques Si l ? Europe ?etait un pays ce serait sa densit ?e de population Bien su r cette densit ?e n ? est pas homog ene iii en estimant la pente de la droite de r ?egression aux moindres carr ?es xiyi ?? x y i hab km xi ?? x i Ce calcul donne une estimation de l ? augmentation moyenne de la population lorsque le territoire augmente d ? un km Cette estimation ne correspond pas exac- tement a la valeur en a car elle est calcul ?ee en minimisant l ? erreur de pr ?ediction de la population a partir d ? une super ?cie connue les distances verticales par rap- port a la droite Si la droite passait par exactement ce serait une fa con d ? envisager la densit ?e ? moyenne ? et on n ? en est pas loin puisque ? Atitre informatif on peut forcer la droite de r ?egression a passer par en minimisant la somme du carr ?e des erreurs du mod ele Yi ? xi i on obtient alors l ? estimation suivante pour la pente xiyi i xi i Exercice -