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Statistique descisionelle 1 1

Chapitre EstimationThéorie de l ? estimation Exposé du problème Un aspect important de l ? inférence statistique consiste à obtenir des estimations ?ables des caractéristiques d ? une population à partir d ? un échantillon extrait de cette population C ? est un problème de décision concernant des paramètres tels que ?? l ? espérance mathématique notée m ou pour un caractère mesurable ?? la variance ou l ? écart-type notée ? ?? la proportion p pour un caractère dénombrable Comme un échantillon ne peut donner qu ? une information partielle sur la population les estimations ainsi obtenues seront inévitablement entachées d ? erreurs que l ? on doit minimiser autant que possible En résumé Estimer un paramètre c ? est donner une valeur approchée de ce paramètre à partir des résultats obtenus sur un échantillon aléatoire extrait de la population De façon générale le problème à résoudre peut se formuler ainsi Soit X une caractéristique d ? un phénomène dont les réalisations dépendent du hasard ? La variable X est donc une variable aléatoire dont les caractéristiques moment variance sont inconnues On observe les réalisations d ? un échantillon aléatoire issu de la population étudiée Cette réalisation doit permettre d ? induire des valeurs ou estimations des paramètres de la loi suivie par la variable X Ces estimations peuvent revêtir deux formes ?? soit une valeur unique l ? estimation ponctuelle ou valeur la plus probable que prendra le paramètre ?? soit un ensemble de valeurs appartenant à un intervalle l ? estimation par intervalle de con ?ance Un intervalle de con ?ance doit avoir de grandes chances ? ? de contenir la vraie valeur du paramètre il est toujours associé à un risque d ? erreur La théorie de l ? estimation fait intervenir des fonctions ou statistiques particulières appelées estimateurs dont nous allons donner les propriétés essentielles Dé ?nition d ? une statistique X est une variable aléatoire dont la fonction de répartition F x et la densité f x dépendent du paramètre D est l ? ensemble des valeurs possibles de ce paramètre On considère un échantillon de taille n de cette variable X X ? X n Une statistique est une fonction mesurable T des variables aléatoires Xi T X X X n À un échantillon on peut associer di ?érentes statistiques La théorie de l ? estimation consiste à dé ?nir des statistiques particulières appelées estimateurs Une fois l ? échantillon e ?ectivement réalisé l ? estimateur prend une valeur numérique appelée estimation du paramètre On notera l ? estimateur du paramètre Exemple Soit X la statistique C ? X T X ? Xn n n i Xi c ? est-à-dire la fonction moyenne arithmétique des n observations d ? un échantillon Cette statistique peut être considérée comme un estimateur a priori raisonnable de l ? espérance mathématique En e ?et ?? cette statistique prend en compte toutes les observations ?? cette statistique possède les propriétés suivantes E T E X var T var