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Td stat Université de Nantes ?? UFR des Sciences et Techniques Département de Mathématiques Master Ingénierie mathématique Année - Exercices de Statistique F Lavancier A Philippe Estimation Ex Montrer que les familles de lois suivantes appartiennent à la

Université de Nantes ?? UFR des Sciences et Techniques Département de Mathématiques Master Ingénierie mathématique Année - Exercices de Statistique F Lavancier A Philippe Estimation Ex Montrer que les familles de lois suivantes appartiennent à la famille des lois exponentielles ? les lois de Poisson de paramètre ? Rappel X suit une loi de Poisson de paramètre ? si ??k ?? N par P X k e ?? ? ?k k ? les lois gaussiennes de moyenne et de variance ? Ex Convergence Si n est un estimateur asymptotiquement sans biais de et si sa variance tend vers zéro alors il est convergent en quels sens Si n est un estimateur de convergent en moyenne quadratique alors il est asymp- totiquement sans biais Ex On dispose d ? un n-échantillon X Xn d ? une loi de Poisson de paramètre ? Montrer que la moyenne empirique X n est un estimateur sans biais de ? Montrer que X n converge presque sûrement et dans L vers lorsque n ? ? Ex On considère un n-échantillon X Xn de la loi uniforme sur On pose n max X Xn Montrer que n est asymptotiquement sans biais En déduire un estimateur sans biais de Montrer que n converge presque sûrement et dans L vers lorsque n ? ? Ex On dispose d ? un n-échantillon X Xn d ? une loi de Bernoulli de paramètre p ?? inconnu Montrer qu ? il n ? existe pas d ? estimateur sans biais de p CEx Soit X Xn une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi exponentielle de paramètre Rappelons que X admet alors pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue f x e ?? x IR x Les variables Xi ne sont pas observées on observe uniquement les variables aléatoires Yi dé ?nies par Yi IXi i n Donner la loi de Y puis calculer E Y On pose pour tout entier n ? Y n n n Yi i et on estime le paramètre par n ?? log Y n si Y n sinon Calculer la probabilité de l ? événement Y n Montrer que presque sûrement l ? événement Y n est réalisé à partir d ? un certain rang Montrer que n converge presque sûrement vers Ex Soit un échantillon de variables aléatoires suivant la même loi paramétrée par un réel On suppose disposer de deux estimateurs et de calculés à partir de cet échantillon On considère l ? estimateur dé ?ni comme la moyenne de et i e On note ? resp ? la variance de resp de que l ? on supposera ?nie et ? la corrélation entre et Exprimer la variance de en fonction de ? ? et ? On suppose dans un premier temps que et sont sans biais et sans perte de généralité que ? ? o? ? Donner une condition sur ? pour que soit meilleur que et au sens du coût quadratique Détailler cette condition dans