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Chap iii tenseur deformation

Université Larbi BENM'HIDI Oum El Bouaghi Mécanique des milieux continus Chapitre Tenseur de déformations Master I CM Cinématique d ? un milieu continu A la di ?érence de la mécanique des solides indéformables la mécanique des milieux continus permet de prendre en compte les déformations d ? un corps et les variations de température qui accompagnent ces déformations Dans un solide indéformable la distance entre deux points quelconques ne peut varier avec le temps alors que dans un milieu déformable cette distance peut évoluer La cinématique du milieu continu a pour but d ? introduire les outils mathématiques pour décrire une cinématique quelconque et ce indépendamment des forces qui l'engendrent Trajectoire et dérivées temporelles Considérons un milieu continu occupant un volume V à l ? instant initial t par exemple une balle en caoutchouc avant son écrasement dans la paume d ? une main ?gure Cette balle peut être vue comme l ? assemblage d ? une déplacer et avoir sa in ?nité propre tdreajpecettoitisreé léCmeettnetstrdaejemctaotiirèereesatpdpée iénsiepopianrtsl ? m ?eavtoélruietilos nCdhealqaupeopsoitiinotnmx ??atdéeriecle vpaosinet matériel en fonction du temps Cette équation donne l'ensemble des trajectoires de tous les points matériels A ?n de distinguer deux points matériels il faut donner un nom unique à chaqu ??e point Généralement on donne comme nom a chaque point matériel ses coordonnées initiales notées X Ces coordonnées dites matérielles sont constantes coordonnées spatiales de la dpaanrsticleultee mx ??ps c ? est donc une information évoluent dans le temps intrinsèque de la particule Par contre les Sur le plan mathématique la transformation ? ?? est une bijection Ainsi on peut inverser la relation et écrire formellement vE aXt ??ar inta tbdldeoitninnvdéaéerpialeabnldebasijnedtceetsioLpnaoguqrruaindgeéxeci rsitLreeaelcenotrm nmdia ? t ??tvéoaruireiladlbeesle ssoonnd ? iEpneuvueletrrsceshoodiiéts ?ilrneictcooamulopmrlees complètement En général la lbeijmecotuiovenm ? ??enet st dérivable plusieurs fois Il y a cependant des exceptions intéressantes ?? ?? ?? la transformation ? ?? est discontinue à travers une ?ssure puisque lorsque qu ? un uide glisse sur un dans les matériaux composites la autre uide la transformation t ? ??raensstfoàrmdéartiivoéne ? c ??elelest-cdiispceount tsi ? nouuev rir discontinue à travers les interfaces entre les di ?érentes phases Exemple - Transformation uniforme Considérons un domaine bidimensionnel qui se déforme selon un parallélogramme Les con ?gurations de référence et à l ? instant t sont présentées sur la ?gure La transformation s ? écrit On véri ?e que pour t on a bien x ? X et x ? X CFigure Déformation d ? un carré La transformation est telle que ? e ?? ? e ?? Une fois la transformation du milieu continu ? ?? dé ?nie il est facile de dé ?nir les notions de déplacement de vitesse et d ? accélération ?? La dérivée temporelle intervenant dans les deux dernières équations s ? e ?ectue pour une particule X donnée C ? est une dérivée en temps dite matérielle On parle aussi de dérivée particulaire ou lagrangienne Si on assimile un milieu continu à une portion d ? autoroute et chaque point matériel