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Complement transformation de laplace

Thème SLCI Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Complément mathématique Transformation de Laplace Objectif Outil qui permet de transformer les équations di ?érentielles en fractions rationnelles I - Dé ?nition de la Transformée de Laplace et conditions d ? existence a Dé ?nition Si f t désigne une fonction à valeurs réelles ou complexes de la variable réelle t dé ?nie sur le domaine t ?? ? et nulle pour t on appelle Transformée de Laplace de f t la fonction ? ? F p L f t e ?? pt f t dt o? p est complexe t l ? existence de F p suppose la convergence de l ? intégrale on dit que F p est l ? image de f t b Conditions d ? existence de F p f t doit être continue par morceau cf cours de math ?? avec tel que lim t ?? f t ?? quand t f t doit être d ? ordre exponentiel c'est à dire c Conséquences ?? tel que lim e ?? t ?? f t ?? t ? Certaines fonctions f t ne possèdent pas de transformée de Laplace par exemple f t t condition d ? existence ou f t exp t qui ne respecte pas la troisième condition qui ne respecte pas la deuxième Remarque importante Inversement toutes les fonctions F p ne sont pas des transformées de Laplace On montre que si F p est une transformée de Laplace alors lim F p quand p ? Exemple transformée de Laplace d'une fonction exponentielle f t exp -at u t ? ? ? ? L exp ??at u t e ?? pt e ??at u t dt e ?? p ?a t dt t t ??e ?? p ?a t p ? a ? p ?a II - Propriétés de la Transformée de Laplace On note F p L f t la fonction dite image de f t et f t L ?? F p la fonction dite original de F p Sous réserve des conditions d ? existence la correspondance f t ? F p est unique a Linéarité Théorème Si F p L f t et F p L f t alors L Af t ?Bf t A F p ?B F p avec A et B deux constantes Dém En utilisant la dé ?nition de la transformée de Laplace on obtient ? ? ? ? ? ? L Af t ?Bf t e ??pt A f t ?B f t dt A e ??pt f t dt ?B e ??pt f t dt A F p ? B F p t t t b Théorème du retard Théorème Soit une fonction f t nulle pour t La fonction f t ?? ?? est la fonction f t décalée de ?? L f t ?? ?? e ??p ?? F p Lycée Pasteur f t f t- ?? t ?? CThème SLCI Sciences Industrielles pour l'Ingénieur ? ? Dém L f t ?? ?? e