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Cours tenseurs sept2011 LICENCE DE PHYSIQUE Parcours Physique et Applications UNIVERSITÉ PARIS -SUD ORSAY CALCUL TENSORIEL G Abramovici septembre C CTable des matières I Algèbre A Rappels d'algèbre linéaire Bases et vecteurs Scalaires Opérateurs B Cas d'u

LICENCE DE PHYSIQUE Parcours Physique et Applications UNIVERSITÉ PARIS -SUD ORSAY CALCUL TENSORIEL G Abramovici septembre C CTable des matières I Algèbre A Rappels d'algèbre linéaire Bases et vecteurs Scalaires Opérateurs B Cas d'une base non orthonormale Métrique Bases réciproques Composantes covariantes et contravariantes d'un vecteur Composantes contravariantes et covariantes d'un tenseur Convention d'Einstein C Changements de base Lois de transformation par changement de base Application orthonormalisation de Gram-Schmidt D Tableaux récapitulatifs II Tenseurs A Dé ?nitions des tenseurs C Dé nition opératoire C Dé nition intrinsèque B Opération sur les tenseurs Produit tensoriel Produit contracté Produit scalaire C Symétries Tenseurs symétriques et antisymétriques Autres symétries des tenseurs Produit vectoriel Réduction des tenseurs par symétrie C C Glossaire voir également certaines dé nitions dans les tableaux récapitulatifs R Rn C Cn B B ?? ? N Z R ? tA u v u v uv ? ? ?? V I O A B AB A ?? A ?? tr A tr A det A det A ? A ?? A ?? P Q E ensemble des nombres réels espace des matrices colonnes à coe cients réels E ensemble des nombres complexes espace des matrices colonnes à coe cients C complexes la base canonique identi cation entre quantité vectorielle à gauche et matricielle à droite dans la base B espace vectoriel réduit au vecteur nul intersection d'espaces addition d'espaces vectoriels sans intersection ensemble des entiers naturels ensemble des entiers relatifs ensemble des réels strictement positifs conjugaison complexe transposition matricielle produit scalaire ou hermitien en notation classique produit scalaire ou hermitien en notation de Dirac angle entre les vecteurs u et v produit vectoriel produit tensoriel produit extérieur volume d'un trièdre ou son aire en dimension l'opérateur identité l'opérateur nul composition des opérateurs A et B produit matriciel des matrices A et B adjoint de l'opérateur A adjoint de la matrice A trace de l'opérateur A trace de la matrice A déterminant de l'opérateur A déterminant de la matrice A polynôme caractéristique inverse de l'opérateur A au sens de la composition inverse de la matrice A au sens du produit matriciel addition des opérateurs P et Q qui commutent CChapitre I Algèbre A Rappels d'algèbre linéaire Bases et vecteurs a Bases orthonormales Soit E un espace vectoriel sur R à trois dimensions on notera B e e e ou encore B e e e une base orthonormale B appelée base canonique En représentation matricielle dans sa propre base B on a F EB F F F ED F F e B F EB F F F ED F F e B F EB F F F ED F F e B on notera eiB les matrices colonne dans la base B Ces vecteurs sont caractérisés par la propriété suivante ei ej ?? ei ej teiBejB i j i j ?? ?ij o? t désigne la transposition et le symbole de Kronecker ? permet une C écriture formelle On peut le véri er explicitement par exemple F EB F F F ED F