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Dsp Modulations numériques Notes de Cours Densité spectrale de puissance Olivier Rioul LA DENSITÉ SPECTRALE DE PUISSANCE est un outil fondamental pour l ? étude des processus aléatoires en traitement du signal et en communications numériques Dans ce docum

Modulations numériques Notes de Cours Densité spectrale de puissance Olivier Rioul LA DENSITÉ SPECTRALE DE PUISSANCE est un outil fondamental pour l ? étude des processus aléatoires en traitement du signal et en communications numériques Dans ce document on rappelle d ? abord les notions vues pour des signaux à temps-discret puis on présente le cas des signaux analogiques à temps continu Ces signaux sont en général à valeurs complexes Le cadre habituel est celui des signaux stationnaires au second ordre mais on peut étendre la notion de densité spectrale de puissance au cas de signaux cyclostationnaires a ?n de calculer le spectre d ? un signal modulé par une modulation linéaire Processus aléatoire à temps discret Un processus aléatoire appelé aussi stochastique est une suite Xn de variables aléatoires qui représentent des échantillons d ? un signal ou des symboles d ? information à transmettre dans un système de communication numérique La description mathématique précise d ? un processus Xn est due à Kolmogorov théorème de consistance L ? indice n est temporel il représente le temps discret Si on se donne une période de référence T alors Xn arrive ? à l ? instant nT Par exemple un signal aléatoire X t échantillonné avec une période d ? échantillonnage T fournit des échantillons Xn X nT En communications numériques les symboles d ? informations Xn sont transmis modulés avec un intervalle de durée constante T séparant l ? émission de deux symboles successifs T est appelée périodesymbole Moyenne stationnarité ergodicité Pour l ? étude des processus à temps discret il est important de pouvoir dé ?nir la notion de moyenne de Xn Deux dé ?nitions sont possibles ?? La moyenne d ? ensemble aussi appelée moyenne spatiale ou espérance E Xn x dPXn x Cqui porte sur la distribution de probabilité de Xn Cette moyenne est déterministe non aléatoire mais dépend en général du temps ?? La moyenne temporelle n N X lim N ? ? N n ??N Xn moyenne sur le temps ici temps passé et futur Cette moyenne est indépendante du temps mais est en général aléatoire On est souvent amené à faire des hypothèses sur le processus pour simpli ?er l ? utilisation de ces moyennes ?? Pour un processus stationnaire dont les propriétés aléatoires sont invariantes par translation temporelle la moyenne d ? ensemble E Xn ne dépend pas du temps Elle n ? est cependant pas toujours égale à la moyenne temporelle X ?? Pour un processus i i d symboles Xn indépendants et identiquement distribués qui est nécessairement stationnaire on a la loi forte des grands nombres Kolmogorov n N N Xn ?? ? p s n ??N quand N ? ? convergence presque sûre autrement dit les moyennes d ? ensemble et temporelle co? ncident X E Xn presque sûrement ?? Pour un processus stationnaire ergodique les événements invariants par translation temporelle sont de probabilité nulle ou on a la loi forte des grands nombres Théorème ergodique de Birkho ?