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Exercice complementaire 10 06

Exercice - Une machine M permet de fabriquer deux types de produits P et Q mais ces deux types ne peuvent être produits simultanément M est disponible heures par semaine unités de P ou unités de Q peuvent être produites à l'heure Chaque unité de P et chaque unité de Q laissent respectivement un revenu net de et de Les demandes sont telles que l'on ne doit pas produire plus de unités de P ni plus de unités de Q par semaine Par un raisonnement économique sur les rendements monétaires ou revenus par unité de facteur rare déterminer les quantités x de P et y de Q à produire chaque semaine pour rendre le revenu net maximal Écrire le programme à résoudre et déterminer x et y graphiquement Retrouver la solution par la méthode du simplexe D ? après examen Corrigé - Utilisation de la notion de rendement monétaire horaire ou revenu par unité de facteur rare heure de production de P rapporte ? heure de production de Q rapporte ? On produira donc le maximum de Q autorisé soit unités ce qui prend heures de machine Il reste heures à consacrer à la fabrication de P On fera donc ? unités de P Le revenu net sera ? ? Formulation du problème forme dite canonique La production de x unités de P et de y unités de Q nécessite ?x ? y ? heures de machine M Donc x y ? puisque M n'est disponible que heures par semaines soit x y ? Revenu net à maximiser Z x y ? x y ? en respectant les contraintes ? ? x ? ? ? y ? avec x ? y ? CRésolution graphique On établit graphiquement ou par recensement des sommets que le maximum est atteint en A de coordonnées ? droite d ? équation x y Forme standard du problème après introduction des variables d'écart Maximiser Z x y a b c R x y a S en respectant les contraintes x b T y c avec x ? y ? a ? b ? c ? Programme admissible de départ Tableaux de calculs B B B B x y variables dites HORS BASE B B B B B B B B B B B B B B B B a b c variables dites DANS LA BASE variables a dans la b base c Z variables réelles x y c variables d'écart a b c ? variables a dans la b base y Z variables réelles x y g variables d'écart a b c ?? ?? ?? ? CLa variable x est entrante et la variable a sortante On transforme à nouveau le tableau par la méthode du pivot variables x dans la b base y Z variables réelles x y variables d'écart a b c calculs inutiles ?? ?? ?? Tous les coe ?cients de Z sont négatifs ou nuls le maximum est donc atteint et on peut lire dans le tableau que le maximum de