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Exercices arithmetique corrige pdf 1

EXERCICES D ? ARITHMETIQUE EXERCICE Guesmi B Nombres de Mersenne a Montrez que pour tout n entier naturel si n - est premier alors n est premier b Montrez que - n'est pas premier EXERCICE Le petit Théorème de FERMAT è annee Soit p un entier naturel premier et n un entier strictement compris entre et p a Montrer que est divisible par p b Montrez que pour tout entier naturel a a p - ap - est divisible par p c Montrez que pour tout b entier naturel si bp - b est divisible par p alors b p - b l'est aussi d Déduisez- en le petit théorème de Fermat Pour tout entier p premier et tout a entier ap a p e Montrez que p est premier si et seulement si pour tout r p - on a rp- p EXERCICE è annee Soit p un entier naturel premier On note Ep l'ensemble p- a Montrez que tout élément de Ep est premier avec p b Montrez que pour tout a de Ep il existe b unique dans Ep tel que ab p c Déterminez les a éléments de Ep tels que a p d Montrez que x x x p- p - p e Déduisez-en que pour tout p entier naturel premier p - est divisible par p EXERCICE Montrez que si un entier naturel a exactement trois diviseurs dans N alors cet entier est le carré d'un nombre premier EXERCICE Montrez que pour tout couple d'entier relatifs x y si x y est divisible par alors x et y sont aussi divisibles par EXERCICE p est un nombre premier On suppose qu'il existe a et b dans N tels que p a b a Déterminez les valeurs p possibles b Montrez que pour tout x dans N x est congru à ou modulo Cc Montrez alors que p est congru à modulo d Peut-écrire comme somme de deux carrés dans N EXERCICE è annee p est un nombre premier On note E l'ensemble p - et E l'ensemble E privé de a Montrez que pour tout a E il existe b E unique tel que ab p b Montrez que pour tout a b dans E on a ab p a ou b c Montrez que pour tout X appartenant à E il existe au plus deux éléments dans E véri ?ant x X p d Déterminez les x E tels que x p On pose p e Quelles sont les valeurs possibles X appartenant à E telles qu'il existe x dans E tel que x X p f Déterminez l'ensemble de x dans Z véri ?ant l'équation x x p g Déterminez l'ensemble des x dans Z tels que x x - soit divisible par EXERCICE En reprenant l'exercice résolvez les équations suivantes a x x b x - x c x x d x - EXERCICE Deux nombres premiers n et m sont dits jumeaux si n m Par exemple les couples sont