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Martingale ch 3 Réalisé par Badr Ouled jamaa martingale Chapitre martingale Dé ?nition Le terme de martingale est issu de la théorie des jeux o? il désigne une statégie permettant de gagner à coup sûr dans un jeu équitable comme le pile ou face Prenons un

Réalisé par Badr Ouled jamaa martingale Chapitre martingale Dé ?nition Le terme de martingale est issu de la théorie des jeux o? il désigne une statégie permettant de gagner à coup sûr dans un jeu équitable comme le pile ou face Prenons un exemple dû à D ? Alembert on parie x euros sur pile Si la pièce tombe sur pile on ramasse x euros soit un gain de x euros et si elle tombe sur face on perd tout A chaque coup on est libre de se retirer ou de continuer à jouer Une stratégie gagnante à coup sûr est la suivante au er coup on mise euro si on gagne on se retire et on empoche euro sinon on continue et on a perdu euro au ème coup on double la mise euros si on gagne on se retire et on a gagné - euro Sinon on continue on a perdu euros au ème coup on double encore la mise en jouant euros Si on gagne on se retire avec en poche un gain de - euro Sinon on continue la partie et on double au coup suivant la mise etc Comme pile va bien ?nir par tomber on est sûr de ?nir par gagner euro à condition d ? avoir une fortune in ?nie Cela dit si pile ne sort qu ? au è tirage alors on aura déjà misé euros Et tout cela pour gagner euro La théorie des martingales modélise en théorie des probabilités le concept de jeu équitable si à un instant t on a gagné ou perdu une somme S on n ? a pas plus de chance dans le futur d ? augmenter ou de diminuer le gain Un théorème dit de la ruine du joueur a ?rme que si un joueur a une fortune initiale ?nie il n ? existe pas de stratégie pour gagner à coup sûr C ? est la ruine du joueur mais la fortune des casinos La martingale mathématique Dé ?nition Soit un processus adapté Xn Fn tel que Xn est intégrable pour tout entier n On dit que le processus est une martingale si ?? ? m ? n E Xn Fm Xm presque sûrement une sur-martingale si ?? ? m ? n E Xn Fm ? Xm presque sûrement une sous-martingale si ?? ? m ? n E Xn Fm ? Xm presque sûrement Si Xn représente la fortune du joueur à l ? instant n dire que la suite Xn est une martingale signi ?e que la connaissance des parties passées c ? est-à-dire la connaissance des événements de Fm ne donne pas d ? avantages pour les parties à venir Exemple Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes sur A P intégrables et de même moyenne m On note Fn la tribu engendrée par X Xn et Sn X Xn Alors - Sn Fn est une martingale si m - Sn Fn est une sur-martingale si m ? - Sn Fn est