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Ds1 bma111 sujet 2020 2021

IPSA ?? Bachelor Année ?? Mathématiques Devoir surveillé n ? Durée heures Consignes générales ?? L ? utilisation de tout type de calculatrice ou tout document est interdit ?? Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans le désordre ?? La présentation de la copie et la rédaction seront prises en compte dans la notation ?? Toutes les réponses devront être justi ?ées ?? Le barème est donné à titre indicatif il pourra être modi ?é ?? Si vous pensez que le sujet comporte une erreur corrigez-là sur votre copie et traitez la question en conséquence Questions de cours points Soient E et F deux ensembles et u ?? F E F Donner la dé ?nition de u est injective ? n Soit n ?? N ? Écrire la formule qui donne k k Soient x ?? R et n ?? N ? Montrer par récurrence que xn x n On rappelle que pour tout couple de réels x y on a xy x ? y Soient A une partie de R et M ?? R Donner la dé ?nition de M est un majorant de A ? Exercice points Soient A et B deux ensembles dé ?nis par A x y ?? R y ?? x et B ?? t ?? t t ?? R Soit u Montrer que u ?? A ?? B Montrer que B ? A Soit a b un couple de réels L ? a ?rmation ci-dessous est-elle vraie ou fausse A ?rmation si a b ?? A alors a b ?? A Exercice points Dans tout cet exercice n est un entier naturel non nul Calculer n a k n b m n k ?? c k k m k n k d ln k k Exercice points Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes x ?? x x ?? x ?? CExercice points On considère l ? application f N ? Z dé ?nie pour tout entier naturel n par f n Calculer f et f n si n est pair ?? n si n est impair Soient n et n deux entiers naturels tels que f n f n a Montrer que n ?? n b Supposons n et n non nuls Montrer qu ? alors n et n ont même parité puis que n n c Que peut-on en déduire pour f f est-elle bijective Si c ? est le cas donner l ? expression de f ?? Exercice points Soient A x ?? R x et B n n ?? N ? A et B sont-ils majorés ou minorés Si c ? est le cas déterminer leur borne inférieure leur borne supérieure Exercice points Montrer que ??x ?? R ? x x Soient n ?? N ? et ai i n n n une famille de n réels strictements positifs Montrer que i ai ? i ai n Soit n ?? N ? On note E n n i ai ? i ai a a an ?? R