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Programmation mathematique

Programmation math ?ematique UNIVERSITE MOULAY ISMAIL FACULTE DES SCIENCES MEKNES SMA SMA S Programmation math ?ematique ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Note de cours - Said Kabbadj kabbajsaid yahoo com Pr Said Kabbadj CProgrammation math ?ematique SMA Table des mati eres Notions fondamentales Introduction Motivation et vocabulaire Di ? ?erents types d ? optimisation Di ? ?erentiabilit ?e Gradient et hessienne Formules de Taylor Convexit ?e Ensembles convexes Fonctions convexes Caract ?erisation des fonctions convexes Projection sur un convexe ferm ?e Existence et unicit ?e d ? un point de minimum Conditions d ? optimalit ?e Conditions d ? optimalit ?e du premier ordre Conditions d ? optimalit ?e du second ordre Algorithmes de descente pour des problemes d ? optimisation sans contraintes Introduction Vecteurs et facteurs de descente G ?en ?eralit ?es sur les algorithmes de descente Algorithmes de descente du gradient Algorithme du gradient a pas ?xe Algorithme du gradient a pas optimal La m ?ethode des gradients conjugu ?es Conditions d ? optimalit ?e Conditions d ? optimalit ?e Conditions d ? optimalit ?e pour les problemes avec contraintes d ? ?egalit ?es Conditions d ? optimalit ?e pour les problemes avec contraintes d ? in ?egalit ?es Conditions d ? optimalit ?e pour les probl emes avec contraintes d ? ?egalit ?es et d ? in ?egalit ?es Problemes d ? optimisation avec contraintes Algorithmes du gradienta pas ?xe avec projection M ?ethodes de dualit ?e Pr Said Kabbadj CProgrammation math ?ematique SMA Chapitre Notions fondamentales Introduction Motivation et vocabulaire L ? optimisation est une branche des math ?ematiques cherchant amod ?eliser a analyser et a r ?esoudre analytiquement ou num ?eriquement les problemes qui consistent aminimiser ou maximiser une fonction sur un ensemble On appelle probleme d ? optimisation tout probleme de la forme P Trouver x ? ?? U tel que f x ? min f x x ??U U ?etant une partie d ? un ensemble E et f E ? R est une fonction donn ?ee Le but de l ? optimisation est de proposer des algorithmes permettant d ? approcher les solutions x ? de P au sens ou partant d ? un vecteur initial x quelconque on construit explicitement une suite de vecteurs xk k ??N convergent vers une solution x ? Le probleme d ? optimisation est dit sans contraintes si U E et sous contraintes sinon On dit que ? f est la fonction objectif ou critere d ? optimisation ? v f x ? est la valeur optimale ? x ? est une solution optimale ? U est l ? ensemble des solutions r ?ealisables ou admissibles Dans ce cours on se placera toujours dans le cas ouE Rp c ? est a dire en dimension ?nie On note le produit scalaire canonique et la norme euclidienne associ ?ee d ?e ?nie par Pr Said Kabbadj CProgrammation math ?ematique ??x ?? Rp x ?? x x SMA Les m ?ethodes d ?evelopp ?ees