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St m inf test Tests paramétriques Tests paramétriques Retour au plan du cours Introduction Nous introduisons la problématique des tests statistiques par un exemple dans le domaine du contrôle de la qualité Une usine fabrique des machines Ces machines tomb

Tests paramétriques Tests paramétriques Retour au plan du cours Introduction Nous introduisons la problématique des tests statistiques par un exemple dans le domaine du contrôle de la qualité Une usine fabrique des machines Ces machines tombent en panne à un instant X aléatoire supposé suivre une loi exponentielle E ? pour un certain ? inconnu Cette usine vend ces machines à une grande surface avec laquelle elle passe un contrat sur la qualité des machines fournies Sur ce contrat on veut que la probabilité pour qu ? une machine tombe en panne avant un instant t qui peut être par exemple la durée de la garantie proposée par la grande surface à ses clients soit plus petite qu ? une quantité donnée Dans le cadre dans lequel nous sommes il faut donc savoir si P ? X ? t ? ?? e ?? ? t pour un certain ? connu fruit des négociations entre la grande surface et son fournisseur Comme la variable X suit une loi E ? est véri ?ée si et seulement si ? ? ? Pour savoir si la convention est respectée le fournisseur lance régulièrement des études dans lesquelles il observe n machines prélevées parmi sa production et note X ? Xn ? les instants de panne des dites machines Les Xi i n forment un n-échantillon de v a de loi E ? le ? inconnu peut être estimé par la méthode des moments ou du maximum de vraisemblance par ? X Pour savoir si ? ? ? une idée naturelle est de décider au vu des observations que l ? hypothèse n ? est pas véri ?ée si ? est grand ou de manière équivalente si X est petit plus petit qu ? un seuil t à déterminer Le problème revient donc à choisir le seuil Comme nous allons le voir le choix du seuil dépend des intérêts de chacun Point de vue du fournisseur Le fournisseur a intérêt à trouver un seuil pour lequel la probabilité de se tromper sous l ? hypothèse que ? ? ? est faible En e ?et cela obligerait le fournisseur à arreter sa production alors que ses produits sont d ? une qualité acceptable Il doit donc se ?xer un niveau d ? erreur assez petit et cherche un seuil t t de manière à ce que ?? ? ? ? P ? X ? t ? ou encore que sup P ? X ? t ? ? ? ? Pour évaluer le membre de gauche faisons quelques rappels sur la loi Gamma DÉFINITION ?? On appelle loi Gamma de paramètres a ? et notée ? a ? la loi sur R ayant pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue ?a xa ?? e ?? ?x x dx ? a On a ?? pour a ? ? E ? ?? pour n ?? N ? ? n ? n L N n i Zi o? les Zi sont i i d Les lois Gamma