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Td math uipa UIPA Licence UE Semestre Année Universitaire Travaux dirigés de Mathématique Algèbre Logique Application Relation binaire Exercice Nier les assertions suivantes - Tous les étudiants de la Licence sciences économiques sont des bavards - Il y a

UIPA Licence UE Semestre Année Universitaire Travaux dirigés de Mathématique Algèbre Logique Application Relation binaire Exercice Nier les assertions suivantes - Tous les étudiants de la Licence sciences économiques sont des bavards - Il y a au moins un étudiant de l ? U I P A qui aime les mathématiques - Dans toutes les universités tous les étudiants détestent tous les enseignants - Pour tout entier x il existe un entier y tel que pour tout entier z la relation z y implique la relation z x Exercice Soient E et F des ensembles Soit f E ? F une application Soit R la relation sur E dé ?nie par ??x ?? E ??y ?? E xRy ? ?? f x f y Montrer que R est une relation d ? équivalence Exercice Si a et b sont deux réels on note fa b l ? application fa b R ? R x ? ax b Déterminer pour quelles valeurs de a b la fonction fa b est injective Déterminer pour quelles valeurs de a b la fonction fa b est surjective Lorsque fa b est bijective déterminer son apllication réciproque Montrer si fa b fc d alors a b c d Interpréter le résultat précédent en termes d ? injectivité d ? une certaine application Exercice Soit R la relation binaire dans E dé ?nie par xRy si seulement si x y est divisible par R est-elle ré exive R est-elle symétrique antisymétrique Montrer que R n ? est pas transitive Polynômes et fractions rationnelles Exercice Décomposer dans R X la fraction rationnelle suivants X K X X ?? X X X X ?? X F X X ?? X CUIPA Sciences Economiques Licence Matrices et systèmes d ? équations linéaires Exercice On considère la matrice suivante F EB F F ?? F EC F F A ?? ?? F ED F F Calculer la matrice des cofacteurs de A et le déterminant de A En déduire que A est inversible et déterminer son inverse par deux méthodes di ?érentes Exercice Calculer le déterminant de la matrice F EB F F F EC F F x y z F ED F F x y z et déterminer la condition d ? inversibilité Exercice Calculer les déterminants des matrices suivantes et inverser les si possible F EB F F ?? F ECF EC F F F F F EC F F F EC F F F ED F F F EB F F F ECF EC F F F F F EC F F F EC F F ?? F ED F F ?? Exercice Etudier l ? existence et l ? unicité de la solution du système Ax B en fonction des paramètres a et b F EB F F F EC F F A ?? ?? F ED F F ?? a F EB F F F EC F F F EDF F B b Exercice On considère le système linéaire F F F F F F