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Topologie et calcul diff poly partie 2

Espaces de Banach Partie sur du cours de topologie et calcul di ? ?erentiel Patrick Bernard November Espaces Vectoriels Norm ?es Nous consid ererons des espaces vectoriels sur R Une norme sur l ? espace vectoriel E est une fonction n E ?? ? R telle que n ax a n x pour tous x ?? E a ?? R n x y n x n y pour tous x y ?? E n x ?? x Si seules les deux premieres propri ?et ?es sont satisfaites on dit que n est une semi-norme On associea toute norme n une distance d sur E d ?e ?nie par d x y n y ?? x Si n n ? est qu ? une semi-norme d est une semi-distance On est souvent amen ?e a construire des fonctions n E ?? ? ? qui satisfont les trois propri ?et ?es ci-dessus On v ?eri ?e alors que le sous ensemble En ? E des points en lesquels n prend une valeur ?nie est un sou-espace vectoriel de E et que En n est un espace vectoriel norm ?e On dit que E est un espace de Banach si c ? est un espace vectoriel norm ?e complet On rappelle le critere classique Proposition L ? espace vectoriel norm ?e E est complet si et seulement si toute suite normalement convergente est convergente Exemple Sur l ? espace RN des suites r ?eelles on d ?e ?nit les ? normes ? a valeurs dans ? np x xi p p pour p ? et n ? x sup xi On note lp p ? les espaces norm ?es correspondants lp est donc l ? espace des suites x telles que np x ? il est muni de la norme np Proposition Soient E et F des espaces vectoriels norm ?es et soit L E ?? ? F une application continue On a ?equivalence entre L est continue en L est continue L est uniform ?ement continue L est Lipschitz C L est born ?ee sur BE la boule unit ?e de E On pose alors L supx ??BE L x F De ?monstration Si L est continue en alors il existe ? et tel que L x F pour x E ? Mais alors L x F ? sur BE Si L est born ?ee par M sur BE alors L x ?? L x F x ?? x E L x ?? x x ?? x E M x ?? x E pour tous x x dans E donc L est Lipschitz Les autres implications sont ?evidentes On a alors Proposition L ? ensemble L E F des applications lin ?eaires continues est un espace vectoriel norm ?e il est complet si F l ? est De ?monstration La restriction a la boule unit ?e est une isom ?etrie i de L E F dans C B E F l ? espace des fonctions continues muni de sa norme habituelle L