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Transformation de laplace et lois de probabilites bts 2e annee

P a g e PARTIEL N TRANSFORMATION DE LAPLACE LOIS DE PROBABILITE BTS Exercice ??BTS - points La fonction échelon unité U est dé ?nie par est dé ?nie par ? ? U ? ? ??U t ? t ? si t ?? si t ? e t s t On considère le système entrée-sortie ? représenté ci-dessous On note s le signal de sortie associé au signal d ? entrée e Les fonctions s et e sont des fonctions causales c ? est à dire qu ? elles sont nulles pour t ?? On admet que les fonctions s et e admettent des transformées de Laplace notées respectivement S et E La fonction de transfert H du système est dé ?nie par S p ? H p ? E p On considère le signal d ? entrée e dé ?ni par e t ? tU t ?? U t ?? ?? t ?? U t ?? et la fonction de transfert H dé ?nie sur ? par H p ? p ? Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal ? ? ??O i j ? ?? ? Pour p ? déterminer E p Déterminer les nombres réels a b et c tels que pour tout p ? on ait p p ? ? a p ? b ? p c p ? On admet que ? ?? p p ? p p ? a Déterminer S p puis s t ? s t ? si t ?? b En déduire que la fonction s est dé ?nie par ? ? s t ?? ? s t ? ? t t ?? ? e ??t ?? ? e ??t si ? ? e t ?? si ? t ?? ? ? s t ? e ??t ? e ?? e si t ? On rappelle que la notation f a ? représente la limite de la fonction f lorsque la variable t tend vers a par valeurs supérieures f a ? ? lim f t De même f a ?? ? lim f t t a ? t a ?? a Calculer s ? s ?? s ? s ?? Que peut-on en conclure pour la fonction s lorsque t et t b Calculer s ' t sur chacun des intervalles et ? On admet que s ' est strictement positive sur et ? Déterminer le signe de s ' t sur l ? intervalle c Calculer la valeur exacte de s ln ? e Déterminer lim s t et dresser le tableau de variation t ? de la fonction s sur Exercice - Génie optique points Les di ?érentes parties de cet exercice sont indépendantes Partie A Une entreprise produit en grande quantité des appareils Chaque appareil fabrique peut présenter deux défauts que l ? on appellera défaut a et défaut b On prélève un appareil au hasard dans la production d ? une journée On note A l ? événement l ? appareil