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Travaux diriges Travaux Dirigés Variables Aléatoires Discrètes Modèle du dentiste On considère une ?le d ? attente à un serveur On suppose que le débit moyen est le temps moyen de réponse est E R le temps moyen d ? attente est E W le temps moyen de servic

Travaux Dirigés Variables Aléatoires Discrètes Modèle du dentiste On considère une ?le d ? attente à un serveur On suppose que le débit moyen est le temps moyen de réponse est E R le temps moyen d ? attente est E W le temps moyen de service est E S l ? espérance de longueur de la ?le d ? attente est E L le nombre moyen de clients en train d ? attendre est E LW le nombre moyen de clients en train d ? être servis est E LS et la probabilité pour que le serveur soit occupée est U - Ecrire une relation entre E R E S et E W relation - Ecrire une relation entre E L E LW et E LS relation - Exprimer E LS en fonction de U - Montrer que l ? on passe de la relation à la relation en faisant une opération simple et montrer qu ? on trouve ainsi une relation connue entre U et E S - On considère un dentiste Le nombre moyen de patients présents chez lui est le nombre moyen de patients dans la salle d ? attente est le nombre moyen de clients arrivant en une heure est Déduire les autres critères de performances et caractéristiques du traitement Temps d ? attente d ? un train On considère une voie ferrée sur laquelle les passages des trains sont séparés par des durées durée entre deux trains successifs de deux types possibles ?? de ces durées sont constantes et égales à mn ?? de ces durées sont constantes et égales à mn - Calculer la durée moyenne séparant deux trains successifs - Un individu arrive à un instant quelconque Au bout de combien de temps en moyenne pourrat-il prendre un train On fera le calcul de deux façons di ?érentes a- En calculant la probabilité pour que l ? individu arrive pendant un intervalle court entre deux trains On en déduira le temps d ? attente résiduelle b- En appliquant la formule de Pollaczek Khintchine - Comparer les résultats de et Ces résultats semblent-ils paradoxaux Cha? nes de Markov à temps Discret Etude d ? une Chaine de Markov à Temps Discret Soit une chaine de Markov à trois états et Les probabilités de transition de l ? état vers les états et sont respectivement p et p La probabilité de transition de l ? état vers l ? état est Les probabilités de transition de l ? état vers les états et sont respectivement et - Pour quelles valeurs du couple p cette cha? ne est-elle irréductible et apériodique - Pour p véri ?ant ces conditions déterminer les probabilités d ? état à l ? équilibre - En régime permanent pour quelles valeurs de p les trois états sont-ils équiprobables C - Calculer le temps moyen de premier retour en Processus de naissance et de mort Soit une cha? ne de Markov in ?nie dont les états sont numérotés a partir de La