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Ts cpi1 2007 2008 devoirs surveilles

Fascicule de devoirs ère année pour BTS Conception de produits industriels Année ?? Une moitié de l ? année scolaire ? Ctscpi Devoir n I Soit E l ? équation di ?érentielle x y ? ?? y o? y est une fonction numérique de la variable réelle x dé ?nie et dérivable sur Résoudre sur l ? équation di ?érentielle E Trouver la solution particulière f de E telle que f II On se propose de trouver sur la solution f de l ? équation di ?érentielle linéaire E xy ? x ?? y o? y est une fonction numérique de la variable réelle x dé ?nie et dérivable sur telle que f On écrit pour Extraits de formulaire Dérivées et primitives f t f ? t t ? ln t t ?? t f t e t ? f ? t e t CTscpi Corrigé du devoir n I On écrit pour x x Sur ? les solutions de E sont toutes les fonctions x Ce lnx Cx o? C est une constante réelle Pour f solution de E sur ? on écrit pour II On écrit pour x H x x ?? ln x et ainsi H ? x ?? ?? On a bien x x Pour On écrit pour r x x ?? ? x ?? ? ?? ? h x x xx x R x H x x ?? ln x R ? x h x r x e-R x e-x ln x e-x e lnx e-x x Sur ? les solutions de E sont toutes les fonctions x C e-x x o? C est une constante réelle III On écrit r x et R x x R ? x r x Les solutions de E sont toutes les fonctions x Ce-x o? C est une constante réelle On doit remarquer que x ? x et que ??x - x pour dire que La fonction x x a pour fonction dérivée x La fonction x -x a pour fonction dérivée x - et que la fonction x e-x a pour fonction dérivée x - e-x À partir de l ? égalité h x x ? e ??x on obtient h ? x e-x x -e-x e ??x ?? x e ??x soit h ? x e ??x ??h x Finalement h ? x h x e ??x pour tout réel x On a bien prouvé que h est une solution de E sur CTscp Devoir n I Soit E l ? équation di ?érentielle y ? y e ?? x o? y est une fonction numérique de la variable réelle x dé ?nie et dérivable sur Résoudre sur l ? équation di ?érentielle E y ? y Dériver les fonctions u et v dé ?nies par u x x ? x et v x e ?? x Soit h la fonction dé ?nie sur par h x x e ?? x Véri ?er si h est une solution de E Résoudre sur l ? équation di