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Cours 4 Nombres complexes trigonom ?etrie Partie I Le corps des nombres complexes Table des mati eres I Le corps des nombres complexes I D ?e ?nition de C I Notation cart ?esienne I Conjugaison I Module I Fonctions a valeurs complexes I Le plan complexe I

Nombres complexes trigonom ?etrie Partie I Le corps des nombres complexes Table des mati eres I Le corps des nombres complexes I D ?e ?nition de C I Notation cart ?esienne I Conjugaison I Module I Fonctions a valeurs complexes I Le plan complexe II Argument exponentielle complexe II Notation exp i II Formules de Moivre et d ? Euler II Forme trigonom ?etrique II Fonction exponentielle complexe III Equations polyno miales dans C III Th ?eoreme de d ? Alembert III Racines carr ?ees d ? un nombre complexe non nul III Equation du second degr ?e III Racines N-iemes d ? un nombre complexe non nul III Racines n-iemes de l ? unit ?e IV Trigonom ?etrie IV Applications sinus et cosinus IV Applications tangente et cotangente IV Lin ?earisation IV Op ?eration inverse de la lin ?earisation V G ?eom ?etrie du plan V Propri ?et ?es g ?eom ?etriques li ?ees au module V Propri ?et ?es g ?eom ?etriques li ?ees a la conjugaison V Propri ?et ?es g ?eom ?etriques li ?eesa l ? argument V Transformations du plan complexe V Similitudes directes V Con ?gurations g ?eom ?etriques VI Similitudes du plan VI Nombres complexes et g ?eom ?etrie du plan VI Similitudes du plan Lyc ?ee Saint-Louis MPSI ann ?ee Page CNombres complexes trigonom ?etrie Partie I Le corps des nombres complexes I Le corps des nombres complexes I D ?e ?nition de C D ?e ?nition On munit l ? ensemble R des deux lois suivantes ?? x y x y ?? R x y x y x x y y x y x y xx ?? yy xy yx Proposition Muni de ces deux lois R poss ede une structure de corps Plus pr ?ecis ?ement ?? Le neutre pour la loi est ?? L ? oppos ?e de x y est ??x ??y ?? Le neutre pour le produit est x ??y ?? Pour tout z x y non nul l ? inverse de z est z x y x y D ?e ?nition On note C l ? ensemble R avec les deux lois pr ?ec ?edentes Ses ?el ?ements z x y sont appel ?es nombres complexes Proposition L ? ensemble K x x ?? R est un sous-corps de C L ? application f x ? x est un isomorphisme de corps de R sur K Cons ?equence De cette mani ere R ? apparait comme un sous-corps de C ? Cet isomorphisme permet d ? identi ?er le complexe x avec le r ?eel x I Notation cart ?esienne Dans le corps C ? on note i Pour tout z x y de C on constate que z x y Avec l ? identi ?cation de R avec un sous-corps de C on peut ?ecrire z x iy On a ainsi obtenu la notation cart ?esienne ou alg ?ebrique des nombres complexes D ?e ?nition Pour tout z de C il existe un couple unique