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Cours infographie 2 Infographie Transformations Géométriques Nassima Ben Younes Lamloumi Naima CPlan Fondements mathématiques Représentations de transformations Compositions de transformations C Fondements mathématiques ? Scalaires et leurs propriétés ? V

Infographie Transformations Géométriques Nassima Ben Younes Lamloumi Naima CPlan Fondements mathématiques Représentations de transformations Compositions de transformations C Fondements mathématiques ? Scalaires et leurs propriétés ? Vecteurs et leurs propriétés ?? Produit vectoriel ?? Addition de vecteurs ?? Normalisation ? Matrices ?? Multiplication Matrice - vecteur ?? Multiplication Matrice - Matrice C Fondements mathématiques Scalaire ? Un scalaire est une grandeur totalement dé ?nie par un nombre et une unité ? Il a une valeur numérique mais pas d'orientation ? Exemples ?? Masse ?? Distance ?? Température ?? Volume ?? Densité ?? Etc ? Les scalaires obéissent aux lois de l'algèbre ordinaire C Fondements mathématiques Scalaires Opérations élémentaires ? Addition et multiplication ? Propriétés o Commutativité o Associativité o Distributivité ? Identité o Addition o Multiplication C Fondements mathématiques Vecteurs Un vecteur est une entité mathématique dé ?nie par n valeurs numériques extraites du même ensemble E ??Ces valeurs numériques décrivent le module et l'orientation du vecteur ??n est appelé la dimension du vecteur ??On dit que le vecteur est dé ?ni dans En avec En est un espace de dimension n ??Exemple dans Z x y Z dans R x y z R C Fondements mathématiques Vecteurs Dans un repère les vecteurs sont décrits dans une base unités de l ? ensemble ?? Généralement unitaire ?? Le vecteur est représenté par l ? addition des vecteurs unitaires à chaque axe de coordonnées en multipliant chacun par la projection composante respective du vecteur C Fondements mathématiques Vecteurs Les vecteurs obéissent aux lois de l'algèbre vectorielle Opérations élémentaires ?? Produit scalaire ?? Produit vectoriel ?? Addition de vecteurs ?? Produit vecteur-scalaire ?? Normalisation C Fondements mathématiques Vecteurs Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit du module du premier par la composante du second dans la direction du premier Soient deux vecteurs et de R le produit scalaire x x y y Soient deux vecteurs et de R le produit scalaire x x y y z z Si q est l ? angle entre et cos q C Fondements mathématiques Vecteurs Produit scalaire Propriétés ? Commutativité u v v u ? Distributivité par l ? addition u v w u w v W ? Distributivité par un scalaire u k v k u v ? Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à si ces deux vecteurs sont orthogonaux ? Si on inverse l ? un des deux vecteurs le résultat de leur produit scalaire est inversé ? Si les deux vecteurs sont normés leur produit scalaire est égal au cosinus de l'angle qu'ils forment CExercice Démontrer que dans un parallélogramme la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés de ses cotés CRéponse C Fondements mathématiques Vecteurs Produit scalaire Champs d ? applications ?? Projection d ? un vecteur sur un autre ?? Élimination des faces cachées ?? Calcul d ? angle entre deux vecteurs ?? Calcul de la quantité de lumière perçue par une face ?? Ombrage ? C Fondements mathématiques