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Derivees partielles 1 Enoncés Stephan de Bièvre Corrections Johannes Huebschmann Dérivées partielles Révisions ZZ Z Exo Z Z Z Z Z Exercice Soit f R ? R la fonction dé ?nie par f x y x y x pour x y et f La fonction f est-elle continue en Déterminer les dér

Enoncés Stephan de Bièvre Corrections Johannes Huebschmann Dérivées partielles Révisions ZZ Z Exo Z Z Z Z Z Exercice Soit f R ? R la fonction dé ?nie par f x y x y x pour x y et f La fonction f est-elle continue en Déterminer les dérivées partielles de f en un point quelconque distinct de l ? origine La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x à y en Indication Correction Exercice Soit f R ? R la fonction dé ?nie par x y y f x y x y pour x y f La fonction f est-elle continue en Justi ?er la réponse La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x à y en Donner la ou les valeurs le cas échéant et justi ?er la réponse La fonction f est-elle di ?érentiable en Justi ?er la réponse Déterminer les dérivées partielles de f en un point x y Déterminer l ? équation du plan tangent au graphe de f au point Soit F R ? R la fonction dé ?nie par F x y f x y f y x Déterminer la matrice jacobienne de F au point La fonction F admet-elle une réciproque locale au voisinage du point Indication Correction Exercice Soit f R ? R une fonction de classe C et soit g R ? R la fonction dé ?nie par g x y z f x ?? y y ?? z z ?? x Montrer que Indication Correction ? g ? g ? g ? x ? y ? z Exercice On considère les fonctions f R ?? ? R et g R ?? ? R dé ?nies par f x y sin xy y cos x xy sin xy exp y g u v w uvw Calculer explicitement g f En utilisant l ? expression trouvée en calculer les dérivées partielles de g f Déterminer les matrices jacobiennes Jf x y et Jg u v w de f et de g Retrouver le résultat sous en utilisant un produit approprié de matrices jacobiennes Indication Correction Retrouver cette ?che et d ? autres exercices de maths sur exo emath fr CIndication pour l ? exercice Utiliser les coordonnées polaires r dans le plan et le fait que limr ? r log r r Indication pour l ? exercice Pour réfuter la di ?érentiabilité de f en il suf ?t de trouver une dérivée directionnelle qui n ? est pas combinaison linéaire des dérivées partielles par rapport aux deux variables Le plan tangent au point x y f x y du graphe z f x y de F est donnée par l ? équation z ?? f x y ? ? f x x y x ?? x ? ? f y x y y ?? y Indication pour l ? exercice Calculer mène à la vérité Indication pour l ? exercice Écrire f x y sin xy y cos x xy sin xy exp y u