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Deux variables Fonctions à deux variables ECE Lycée Carnot janvier Aspect graphique Dé ?nition Une fonction à deux variables est une application f D ? R o? D est une sous-ensemble du plan R appelé domaine de dé ?nition de la fonction f Exemples La fonctio

Fonctions à deux variables ECE Lycée Carnot janvier Aspect graphique Dé ?nition Une fonction à deux variables est une application f D ? R o? D est une sous-ensemble du plan R appelé domaine de dé ?nition de la fonction f Exemples La fonction f x y ? x x y xy ?? y est une fonction à deux variables dé ?nie sur R tout entier La fonction g x y ? ln x y ?? est une fonction dé ?nie sur l ? ensemble des couples x y véri ?ant x y ?? qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la droite d ? équation y ?? x Proposition Tout sous-ensemble de la forme x y ax by c o? a b et c sont trois réels tels que a b est une droite Démonstration Si équation de droite b Et si b on peut mettre l ? équation sous la forme y on a par hypothèse a donc on obtient ??x c ??b ??aacx qquuiiesetstégbaielenmuennet une droite en l ? occurence parallèle à l ? axe des ordonnées Exemple La fonction h x y ? ?? x ?? y est dé ?nie à l ? intérieur du cercle de centre O et de rayon Proposition Le sous ??-ensemble de R dé ?ni par l ? équation x y R avec R est le cercle de centre et de rayon R si R l ? ensemble est vide Démonstration Dans le plan R muni d ? un repère orthonormal mais ce sera toujours le cas pour nous le point M de coordonnées x y est situé à une distance x y de l ? origine O du repère c ? est une application du théorème de Pythagore donc x y R ?? OM r ?? OM r l ? ensemble des points à distance r de O est bien le cercle de centre O et de rayon r Dé ?nition La représentation graphique d ? une fonction à deux variables dans un repère O i j k de l ? espace est l ? ensemble des points M x y z véri ?ant z f x y Remarque Une fonction à deux variables est donc représentée non pas par une courbe mais par une surface dans l ? espace Il est très di ?cile en général de visualiser ce genre de représentations graphiques c ? est pourquoi on en est souvent réduit à étudier les coupes par des plans que représentent les lignes de niveau et les applications partielles Dé ?nition Soit k un réel et f une fonction de deux variables la ligne de niveau k de la fonction f est l ? ensemble des couples x y véri ?ant f x y k Remarque Il s ? agit donc de la coupe de la surface représentative de f par le plan horizontal ? d ? équation z k La plupart du temps une ligne de niveau n ? est pas la courbe représentative d