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Devoir a la maison 1 4m 20 21

Devoir à la maison Exercice n Répondre par vrai ou faux en justi ?ant la réponse Soit f une fonction continue sur Il existe au moins un réel ?? de tel que f f lim sin n ? n n Soit a et b deux nombres complexes non nuls Si arg a arg b alors a b est un réel strictement positif Il existe un unique nombre complexe z tel que z arg z z i arg z Exercice N On a représenté dans un repère orthonormé O i j la courbe Cf représentative d ? une fonction f dé ?nie et continue sur ? la courbe y Cg représentative d ? une fonction g dé ?nie et continue sur IR ? La courbe Cf admet une branche in ?nie parabolique de direction celle de O i en ? ? La droite O j est une asymptote de Cf Cg Cf ? La courbe Cg est une parabole A l ? aide d ? une lecture graphique répondre aux questions suivantes a Donner lim f x lim f x x ? x ? x b Donner lim g x lim fog x et lim fog x x ? f x x ? ?? x ? c Déterminer g ? ?? ?? fog ? ? et gof ? ?? j - - - i x - - - Soit h la fonction dé ?nie par h x f x a Déterminer le domaine de dé ?nition de h b h est-elle prolongeable par continuité en justi ?er c Montrer que h est paire d Dresser le tableau de variation de h Exercice n Etant donné un entier naturel p ? on considère la suite un n ?p o? a Montrer que ? n ? p un p ? ?? ?? ?? n ? ? ? ? ?? ?? ?? n ? ? ? ?? ? ?? ?? p ?? n ? ? ? un Cnp np b En déduire que un n ?p est une suite croissante qu ? elle converge vers et qu ? elle est majorée par p p C ? On considère les deux suites Sn et tn dé ?nies sur IN par Sn n p p et tn ? ?? ?? n ? n ? ? a Montrer que ? n ? n ?? ? ? b Montrer que si p ? alors ? p p ?? En déduire que Sn est majorée par c Montrer que Sn est convergente On notera e lim n ? Sn a Montrer que tn est croissante et que pour tout n ? on a tn ? Sn ? Conclure ? b Montrer que Si m n ? alors tm ? n p Cpm mp En déduire en utilisant que pour tout n ? ? lim m ? t m ? Sn c Montrer que e lim n ? t n lim n ? Sn Exercice n Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O u v on