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Devoir de controle n02 2011 2012 sahline monastir

Khnisse Durée h A S Devoir de contrôle N Exercice N pts Pour chacune des a ?rmations suivantes répondre par VRAI ? ou FAUX ? Sans justi ?cation On donne ci-contre les variations d ? une fonction f dé ?nie et dérivable sur ? L ? inéquation f x ? ?? n ? admet pas de solutions dans ? Pour tout réel x on a f x ? La fonction f est paire f ' ? lim ? ? x ? f x fof ? ?? lim fof x ? x ? lim f x ? ? x ?? x ? Exercice N pts ?? ?? ? ?? L ? espace est rapporté d ? un repère orthonormé direct O i j k On donne les points A B et C ?? et D Montrer que ABC est triangle puis calculer son aire a Montrer que ABCD est un tétraèdre et calculer son volume b Déduire la distance DH o? H le projeté orthogonal de D sur le plan ABC Soit H ? le projeté orthogonal de D sur la droite AC a Calculer d D AC b Montrer que le triangle DHH ? est un triangle rectangle CExercice N pts ?? ?? ? ?? L ? espace est rapporté d ? un repère orthonormé direct O i j k On donne les points A B et C ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? a Déterminer AB ? AC Déduire que les points A B et C déterminent un plan P b Véri ?er qu ? une équation cartésienne de P est x ? y ? z ?? ? Soit S l ? ensemble des points M x y z de l ? espace tels que x ? y ? z ?? x ?? z ? ? a Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R b Montrer que S ?? P est le cercle circonscrit au triangle ABC a Déterminer une équation cartésienne de du plan Q passant par I et parallèle à P b Donner une représentation paramétrique de la droite ? passant par A et perpendiculaire à P c Déterminer les coordonnées du point A ? point d ? intersection de ? et Q Exercice N pts Soit U la suite dé ?nie sur ? par ? ?? ? U ? ? ? Un ? ? Un ? n ? ? a Montrer que pour tout n ? ? ? Un ? b Montrer que U est strictement croissante c Déduire que U est convergente est calculer sa limite a Montrer que pour tout n de ? on a ? ?? Un ? ? ?? Un b Déduire que pour tout n de ? on a ? ?? Un ? n c Retrouver lim n ? Un n Pour tout n ? ? on pose Sn ? ? Uk k ? a Montrer que ? n ?? Sn ? ?? n b Déduire lim n ?