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Planche no Réduction Corrigé F EB F F F ED F F Exercice no ère solution A J ?? I o? J On a J J et plus généralement ??k ?? N ? Jk k ?? J Soit n ?? N ? Puisque les matrices J et ??I commutent la formule du binôme de Newton permet d ? écrire n An J ?? I n ??I n n k J k ??I n ??k ?? nI n n k k ?? ?? n ??k J k k k ?? nI n n k ?? n ??k k J ?? nI ?? n ?? ?? n J k F EB F ED n ?? n n ?? ?? n n ?? ?? n n ?? ?? n n ?? n n ?? ?? n F F F F n ?? ?? n n ?? ?? n n ?? n ce qui reste vrai quand n Soit de nouveau n ?? N ? ?? n I n ?? ?? n J ? ?? ??n I ??n ?? ?? ??n J I ?? n ?? ?? ??n ?? J ?? ?? n ?? ?? ??n J I ?? n ?? ?? ??n ?? J ?? ?? n ?? ?? ??n J I et donc An est inversible et A ??n F EB F ED ??n ?? ??n ??n ?? ?? ??n ??n ?? ?? ??n ??n ?? ?? ??n ??n ?? ??n ??n ?? ?? ??n F F F F ??n ?? ?? ??n ??n ?? ?? ??n ??n ?? ??n Finalement ??n ?? Z An F EB F ED n ?? n n ?? ?? n n ?? ?? n n ?? ?? n n ?? n n ?? ?? n F F F F n ?? ?? n n ?? ?? n n ?? n ème solution Puisque rg A I dim Ker A I et ?? est valeur propre de A d ? ordre au moins La troisième valeur propre ? est fournie par la trace ? ?? ?? et donc ? Par suite ?A X X ?? On note que n ? est pas valeur propre de A et donc A est inversible F EB F F x F EB F F F EB F F F ED F F F ED De plus y ?? E ?? ?? x y z et donc E ?? Vect e e o? e F F F ED F F ?? et e z ?? F EB F F x F EB F F F ED F F F ED F F De même y ?? E ?? x y z et E Vect e o? e z F EB F F F ED F F On pose P ?? et D diag ?? ?? et on a A PDP ?? ?? Calcul de P ?? Soit i j k la base canonique de R F F F F e i ?? j F F e e i ??k i j k

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