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cours numerique part 2 C Introduction Soit un espace de probabilité ? ? P associé à une expérience aléatoire envisagée Ce triplet n ? est en général pas formé d ? éléments réels et ne se prête donc pas à des calculs Pour remédier à cet inconvénient on lui

C Introduction Soit un espace de probabilité ? ? P associé à une expérience aléatoire envisagée Ce triplet n ? est en général pas formé d ? éléments réels et ne se prête donc pas à des calculs Pour remédier à cet inconvénient on lui associé un espace probabilisé dont tous les éléments sont réels gr? ce à l ? introduction de la notion de variable aléatoire réelle C Généralités sur les variables aléatoires Soit ? ? P un espace de probabilité et ?? un corps des nombres Dé ?nition On dit qu ? une application X ? ?? ? X ? telle que á chaque événement élémentaire fait correspondre un nombre réel est une variable aléatoire si pour tout nombre réel x A ? X ? ?x ? ? c ? est à dire A est un événement CRemarques ?A ?n de simpli ?er l ? écriture nous noterons pour la suite ? X ? ?x X ?x Aucun risque de confusion n ? est d ? ailleurs à craindre X désigne une fonction et x un réel ?L ? ensemble des valeurs prise par X noté X ? est appelé univers image CExemples On jette deux dés distincts et on s ? intéresse à la somme des points On note X cette variable aléatoire elle est dé ?nie par X ? ?? ? ? ? ? avec ? ? tel que X ?x ? ? ? ? ?x ? ? ? x ? ?? L ? ensemble des valeurs possibles prises par X est X ? C On observe deux bactéries et on s ? intéresse à la durée de vie T de la bactérie qui dispara? tra la première L ? ensemble fondamental univers ? ? La variable aléatoire T s ? écrit alors T ? ?? ? ? inf ? ? tel que T ?x ? ? inf ? ? ?x ? ? ? x ? ?? L ? ensemble des valeurs possibles prises par T est T ? C Propriétés Puisque A est un événement il a une probabilité bien dé ?nie et par conséquent nous pouvons obtenir la probabilité que le variable aléatoire prend des valeurs inférieures à un x donné P A P X ? x C On peut aussi obtenir la probabilité qu'une variable aléatoire prend des valeurs dans un intervalle P a C La loi de probabilité aussi appelée distribution de probabilité et notée PX d'une variable aléatoire X a pour but de décrire quelles sont les valeurs possibles prises par la variable X et avec quelle probabilité ces di ?érentes valeurs sont prises Elle est dé ?nie comme suite CAutrement dit est la mesure image de par Dé ?nition On appelle loi de probabilité de X la fonction PX ?? A ? ?? P X ? A Autrement dit PX est la mesure image de P par X C Fonction de répartition Une variable aléatoire est entièrement caractérisée par sa distribution de probabilité PX ou de manière équivalente par sa