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Les nombres complexes Mathématiques Bac STI Les nombres complexes Pour bien comprendre les complexes il faut voir cet objet mathématique comme un moyen simple et élégant d ? opérer dans un espace à deux dimensions que l ? on peut représenter par un plan I

Mathématiques Bac STI Les nombres complexes Pour bien comprendre les complexes il faut voir cet objet mathématique comme un moyen simple et élégant d ? opérer dans un espace à deux dimensions que l ? on peut représenter par un plan Il y a très souvent un exercice sur les complexes au bac Pour mettre toutes les chances de son côté il faut donc s ? exercer sur des problèmes de calculs complexes mais aussi sur leurs applications à la géométrie Généralités L ? écriture z ? x ? iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z x est la partie réelle de z notée Re z y est la partie imaginaire de z notée Im z Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et même partie imaginaire ? ?? Le conju ?gu ??é ? ?? ?? ?? ?? ?L ??e co ?nju ??gué d ? un complexe z ? x ? ? iy ?? est le ?co ?? mplexe x ?? iy noté z z est réel équivaut à z ? z z est imaginaire pur équivaut à z ? ?? ??z ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? z ? z' ? z ? ?z' ?? Si z ? ?? z z' ? z z' ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? z ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? z ? ?? zn ? zn ? ?? ?? ? ?? ?? ?? ??zz' ? ? ? ?? ?? ?? ? z' z ? ?? ? ?? Module et argument d ? un complexe Le On mproednudleudn ? ?cuonm ??npolmexbere zcodmonptlelxaer ?ezp ? r ??ésxe ? ntiaytieosnt z ? dans x ? y le plan complexe est M On appelle alors argument de z et on note arg z toute mesure en radians de l ? angle orienté que fait OM avec l ? axe des abscisses Attention l ? argument d ? un complexe n ? est pas unique arg z ? k ? o? k ? ?? ?? est aussi un argument de z z est réel équivaut à arg ? z ?? ? ou ar ?g z ?? ? ?? ? z ? ?? est imaginaire pur équivaut à arg z ? ? ou arg z ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? Inégalité tr ?ian ??gulaire z ? ? z ??' ? z ? z' z z' ? z z' et arg z z' ? arg z ? arg z' ? ?? ? ?? ? ?? ? z z et ? ?? arg ?? ? ?? ?? ?? ?? z ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ??arg z ? ?? Pour tout en ?tie ??r naturel n non nul zn ? z n et arg zn ? n arg z ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ??