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Analyse et d algebre 3 ÉCOLE POLYTECHNIQUE VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE Espaces préhilbertiens Soit E un espace vectoriel sur K ? Un produit scalaire x y ? x y sur E est une application de E ? E dans K qui est ?? sesquilinéaire i e linéaire par rapport à y i

ÉCOLE POLYTECHNIQUE VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE Espaces préhilbertiens Soit E un espace vectoriel sur K ? Un produit scalaire x y ? x y sur E est une application de E ? E dans K qui est ?? sesquilinéaire i e linéaire par rapport à y i e x y y x y x y et x ?y ? x y si ? ?? K x y y y ?? E et semi-linéaire par rapport à x i e x x y x y x y et ?x y ? x y si ? ?? K x y x x ?? E ?? symétrique i e y x x y quels que soient x y ?? E ?? dé ?nie positive i e x x si x ?? E et x x si et seulement si x ? Un espace préhilbertien est un espace vectoriel muni d ? un produit scalaire Si E est préhilbertien on dé ?nit E ? R en posant x x x Alors est une norme et on a x y x y pour tous x y ?? E inégalite de Cauchy-Schwarz l ? application R-bilinéaire x y ? x y de E ? E dans K est continue É C O L E P O LY T E C H N I Q U E x ty x t Re x y t y est toujours pour t ?? R son discriminant est donc ce qui se traduit par Re x y x y pour tous x y ?? E Choisissons alors ?? R tel que e ??i x y ?? R En utilisant la majoration précédente pour ei x et y au lieu de x et y on obtient x y Re ei x y ei x y x y ce qui prouve l ? inégalité de Cauchy-Schwarz L ? inégalité triangulaire s ? en déduit car x y x Re x y y x x y y x y L ? identité ? x ? x étant immédiate est une norme ce qui permet de conclure ? On dit que x y ?? E sont orthogonaux si x y Si x et y sont orthogonaux ils véri ?ent la relation de Pythagore x y x y Dans le cas général ils véri ?ent l ? identité de la médiane x y x y x ??y qui se démontre sans problème en développant le membre de droite ? Si F est un sous-espace vectoriel de E et si x ?? E il existe au plus un élément pF x de F appelé s ? il existe projection orthogonale de x sur F tel que x ?? pF x soit orthogonal à F tout entier De plus on a pF x x si x ?? F et pF est linéaire et -lipschitzien sur son ensemble de dé ?nition Si y y ?? F sont tels que x ?? y et x ?? y sont orthogonaux à F tout entier alors y ?? y x ?? y ??