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Carres arabes LES CARRÉS MAGIQUES DANS LA TRADITION MATHÉMATIQUE ARABE Yves MARTIN L ? atelier a été conçu en trois parties ? On a commencé par la présentation de la récente traduction et édition d ? un manuscrit arabe du XIIIe s intitulé L ? arrangement

LES CARRÉS MAGIQUES DANS LA TRADITION MATHÉMATIQUE ARABE Yves MARTIN L ? atelier a été conçu en trois parties ? On a commencé par la présentation de la récente traduction et édition d ? un manuscrit arabe du XIIIe s intitulé L ? arrangement harmonieux des nombres ? Cette première partie a été l ? occasion de donner un aperçu historique sur les carrés magiques avant d ? entrer dans le détail de quelques constructions du manuscrit ? Une deuxième partie a proposé une approche plus contemporaine orientée vers des concepts de structure des carrés magiques sur la base des décompositions par congruence initiées par Euler et jusqu ? à la théorie des corps ? Une troisième partie a proposé l ? utilisation d ? un logiciel de manipulation des carrés magiques et d ? étude des structures ainsi engendrées Cette partie n ? a pas été reproduite ici toutefois le logiciel pour Macintosh avec une prise en main d ? une quarantaine de pages et plus de ?chiers de carrés magiques sont disponibles sur le site de l ? IUFM de La Réunion http www reunion iufm fr PARTIE I L ? ARRANGEMENT HARMONIEUX DES NOMBRES ? Dé ?nitions de base Un tableau de dimension n i e une matrice carrée d ? ordre n sera dit magique si la somme de ses lignes de ses colonnes et de ses deux diagonales est constante Un carré magique de Bachet ? Si de plus ce tableau ne contient que les nombres entiers de à n tous les termes étant di ?érents on parle alors de carré magique La somme magique d ? un carré magique de dimension n est sn n n C LES CARRÉS MAGIQUES DANS LA TRADITION MATHÉMATIQUE ARABE On dira aussi d ? un tableau magique qu ? il véri ?e la contrainte du carré pour dire que la magicité étant préalablement connue on sait de plus que c ? est un carré magique c ? est-à-dire qu ? il comporte tous les nombres de à n Deux carrés ou tableaux magiques seront dits isométriques si l ? on peut passer de l ? un à l ? autre par l ? une des isométries du carré La notion de magicité s ? étend aux autres diagonales Quand un tableau magique véri ?e cette propriété avec la même somme pour les diagonales secondaires on parle de tableaux panmagiques ou encore de carrés magiques diaboliques ? terminologie de Bachet Quelques dates ? Le carré magique de dimension est connu en Chine vers ?? ? On note une pratique régulière des carrés magiques CM dans la suite en Chine et en Inde par des méthodes relativement lourdes ? Forte implantation de la pratique des constructions des CM dans le monde arabe à partir du Xe s ? Introduction en Europe par Moschopoulos ? La méthode traditionnelle ? du cas impair cf carré ci-dessus due au père jésuite François Spinula est généralement attribuée à Bachet de Méziriac ? Frénicle dénombre