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Chap 2 analyse42015 Chapitre Transformation de LaplaceTransformation de Fourier I Transformation de Laplace Dé ?nitions et conditions d ? existence ? Dé ?nition une fonction f est dite d ? ordre exponentiel si on peut trouver une constante réelle M et ? D

Chapitre Transformation de LaplaceTransformation de Fourier I Transformation de Laplace Dé ?nitions et conditions d ? existence ? Dé ?nition une fonction f est dite d ? ordre exponentiel si on peut trouver une constante réelle M et ? Dé ?nition Soit continue par morceaux On appelle transformée de Laplace de la fonction f la fonction ? ? Conditions d ? existence F p est dé ?nie par une intégrale généralisée donc il faut que ? F soit continue par morceaux sur ? ? La fonction f est d ? ordre exponentiel or ? converge pour ? Remarques Certaines fonctions ne possèdent pas de transformée de Laplace par exemple la fonction qui ne respecte pas la deuxième condition d ? éxistence ou qui n ? est pas d ? ordre exponentielle ? Problème Comment déterminer le meilleur pour que l ? intégrale converge On admet le théorème suivant Théorème Soit fonction continue ? converge simplement ? diverge ? converge absolument ? ne converge pas absolument Analyse - Page C ? Exemples a Soit la fonction de Heaviside ? b Soit avec ? c Soit ? ? ? ? Propriétés a Linéarité Soient deux fonctions admettant des transformées de Laplace F p et G p et soient deux réels alors Exemple Grace à cette propriété on peut déterminer la transformée de sinus et cosinus d ? o? Et d ? o? b Transformée d ? une translation Soit F p On note une fonction admettant une transformée de Laplace Alors ? ? ? c Transformée d ? une homothétie Soit F p et soit une fonction admettant une transformée de Laplace ? ? ? d Transformée d ? une dérivée Soit transformée de Laplace F p ? une fonction continument dérivable et admettant une ? ? Analyse - Page CProposition Soit ? ? une fonction véri ?ant e Transformée de l ? intégrale ? On a d ? o? mais donc alors ? Plus généralement ? ? ? Théorème de la valeur initiale et de la valeur ?nale Soit f une fonction admettant une transformée de Laplace alors ? ? ? Si les limites envisagées existent Preuve ?? Puisque admet une transformée de Laplace et d ? après les conditions d ? éxistence l ? intégrale généralisée ? converge normalement Donc et d ? après le théorème de continuité des intégrales généralisées dépendant d ? un paramètre on a ? ? ?? On a ? En passant à la limite on peut écrire ? Puisque admet une transformée de Laplace et d ? après les conditions d ? éxistence l ? intégrale généralisée ? converge normalement Donc et d ? après le théorème de continuité des intégrales généralisées dépendant d ? un paramètre on a Analyse - Page C ? ? Soit ? Ou encore D ? o? le second résultat ?? En utilisant le même raisonnement ? Ou encore ? D ? o? Transformée inverse La transformée de Laplace étant un opérateur bijectif sa bijection inverse existe Elle est unique