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Chapitre 2 transformee de laplace

Signaux et Systèmes Linéaires Chapitre Transformée de Laplace ISET de Sousse Introduction L ? étude des systèmes physiques s ? accompagne obligatoirement de manipulation des équations di ?érentielles Cependant la résolution n ? est pas toujours simple Pour faciliter les calculs on utilise un outil mathématique puissant c ? est la transformée de Laplace Dé ?nition Les processus étudiés seront caractérisés par des fonctions régies par des signaux continus Soit une fonction f t continue sur ? et supposée nulle pour t ?? fonction causale On appelle la transformée de Laplace de f la fonction F dé ?nie par ? ?? F p ? L ?? f t ? ? f t e ?? ptdt Avec p une variable complexe On note f t ? L ?? ? ??F p ? ?? On appelle F p la transformée de Laplace de f t et f t est l ? originale de F p Transformée de Laplace des signaux de base Echelon unité Ce signal est dé ?ni par u t ? ? ? ?? pour t ? pour t ?? u t t ?? ?? ? ?? ? U p ? L u t ? ? e ?? ptdt ? ?? p e ?? pt ? ? p Ahmed Anis KAHLOUL Hatem CHOUCHANE CSignaux et Systèmes Linéaires ? L ??u t ? ? p ISET de Sousse Impulsion de Dirac ? pour t ?? Soit la fonction f t dé ?nie par f t ? ? ? ? ?? ? pour ? t ? ? ? ? pour t ? ? f t ? ? t ?? ?? ? F p ? L ?? f t ? ? ? e ??ptdt ? ? ?? ? p e ?? pt ? ? ?? e ?? p ? ? p ?? avec lim e x ?? ? x x En faisant tendre ? vers zéro f t devient ? t et F p tend vers D ? o? L ?? ? t ? ? Fonction puissance Soit rn t ? t nu t ? ?? ? Rn p ? L ??rn t ? ? t ne ?? ptdt On pose x t ? t n ? x t ? n t n ?? y t ? e ?? pt ? y t ? ?? e ?? pt p ?? ? ?? En utilisant l ? intégration par partie on trouve Rn p ? ?? p t ne ?? pt ? ? n ? t e n ?? ?? ptdt p ? Rn p ? n p Rn ?? p R p ? L ??u t ? ? p Ahmed Anis KAHLOUL Hatem CHOUCHANE CSignaux et Systèmes Linéaires R p ? p R p ? p R p ? p R p ? p R p ? p R p ? p D ? o? par récurrence Rn p L ? ??t nu t ? ?? n pn ISET de Sousse Fonction exponentielle Soit la fonction f t ? e ??atu t avec