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Concours national commun epreuve de mathematiques i session 2021 filiere mp 1

Concours National Commun Épreuve de Mathématiques I Session - Filière MP L ? énoncé de cette épreuve particulière aux candidats de la ?lière MP L ? usage de tout matériel électronique y compris La calculatrice est interdit Durée heures Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l ? appréciation des copies n convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énonce il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre Le sujet de cette épreuve est composé d ? un exercice et d ? un problème indépendants entre eux Exercice Noté points sur si x ? Soit n un entier naturel on considère la fonction fn dé ?nie sur R par fn x xne ??x si x Véri ?er que pour tout entier naturel n fn x o x lorsque x tend vers ? ? Montrer que pour tout entier naturel n fn x dx est une intégrale convergente Par la suite on pose pour tout entier naturel n In ? fn x dx et an admet que I ? e ??x dx ?? ? a Culculer I b En utilisant une intégration par parties montrer que pour tout entier naturel n n In In k c Montrer que pour tout entier naturel k I k k ?? d Montrer que pour tout entier naturel k I k k k ? Problème n Pour tout entier naturel non nul n on pose Hn k et un Hn ?? ln n k Partie Développement asymptotique de la suite Hn n ? a Montrer que un ?? un ?? n ? ? n Cb En déduire que un ?? un est une série convergente n ? c Justi ?er que la suite un n ? converge On note ? ta limite n n ?? d Montrer que pour tout entier n tel que n ? ? ln n ? k k k k e En déduire que ? ? ? On pose pour tout entier naturel non nul n vn un ?? ? ? n a Véri ?er que ? ?? ln n n ?? n ? k b En déduire que vn ln ?? k ?? k k n c Conclure que Hn ln n ? n o n On pose pour tout entier naturel non nul n wn un ?? ? ?? n a Donner un équivalent simple de wn ?? wn ? b Véri ?er que n ?? n ?? n ? ? n puis que k ?? n ? ? n k n c Conclure que Hn ln n ? n ?? n o n Pour tout entier naturel non nul n on note mn min k ?? N ? Hk ?