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Corrige 2 1 ENSTA ?? Cours MA TD CORRIGE ?S ?? Exercice Par int ?egration par parties on a In f ??e ??nf f e ??nxf x dx Comme f est de classe C sa d ?eriv ?ee f est continue et donc elle est born ?ee sur le compact On obtient alors e ??nxf x dx ? sup f x

ENSTA ?? Cours MA TD CORRIGE ?S ?? Exercice Par int ?egration par parties on a In f ??e ??nf f e ??nxf x dx Comme f est de classe C sa d ?eriv ?ee f est continue et donc elle est born ?ee sur le compact On obtient alors e ??nxf x dx ? sup f x e ??nxdx sup ?? e ??n f x x ?? x ?? n ce qui permet d ? obtenir lim In f f n ? ? Si f est continue sur par le th ?eor eme de Weierstrass il existe une suite de fonctions polynomiales qui sont donc de classe C qui converge uniform ?ement vers f sur Ainsi pour tout il existe g ?? C telle que l ? on ait sup f x ?? g x ? x ?? On a alors In f ?? f ? In f ?? g In g ?? g g ?? f Comme In f ?? g ? f x ?? g x ne ??nxdx ? obtient ne ??nxdx ?? e ??n ? on In f ?? f ? In g ?? g Par la question il existe n tel que pour tout n ? n l ? on ait In g ?? g ? et donc pour n ? n on a In f ?? f ? ce qui donne lim n e ??nxf x dx f n ? ? CExercice Un espace non complet On v ?eri ?e ais ?ement un dessin peut aider que um ?? un n ?? m quantit ?e qui tend vers quand n et m tendent vers l ? in ?ni La suite un est donc de Cauchy dans E muni de la norme Graphiquement il semble ?evident que la suite un converge vers une fonction discon- tinue et ne peut donc pas converger dans C ?? Pour le montrer rigoureusement nous allons raisonner par l ? absurde en supposant que un converge vers une fonction u dans E Notons respectivement u n et u les restrictions de un et u a l ? intervalle En remarquant que u n x ?? u x dx ? un x ?? u x dx un ?? u ?? on d ?eduit que la suite un converge vers u dans l ? espace C muni de la norme de la convergence en moyenne Par ailleurs on v ?eri ?e directement un dessin peut encore aider que u n x ?? dx n ce qui signi ?e que la suite un converge vers la fonction constante ?egale a dans l ? espace C muni de la norme de la convergence en moyenne D ? apres l ? unicit ?e de la limite il s ? ensuit que u x pour tout x ?? En raisonnant exactement de la m eme fa con sur les restrictions un ?? et u ?? de un et u a l ? intervalle ?? on montre que u ?? x ?? pour tout x ?? ??