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Corrige 3 Polytech ? Paris-Sud Orsay ?? S -MathInfo Corrige ? du contro le continu de Mathe ?matiques no du mercredi novembre ?? Dur ?ee h Exercice points Donner un d ?eveloppement limit ?e de cos ex ?? cos x a l ? ordre On a ex x x x o x et cos x ?? x o

Polytech ? Paris-Sud Orsay ?? S -MathInfo Corrige ? du contro le continu de Mathe ?matiques no du mercredi novembre ?? Dur ?ee h Exercice points Donner un d ?eveloppement limit ?e de cos ex ?? cos x a l ? ordre On a ex x x x o x et cos x ?? x o x donc ex ??cos x x x x o x Injectant cela dans le DL de cos x en il vient cos ex ?? cos x ?? x x x o x x x x o x o x ?? x x x x o x x o x o x ?? x ?? x ?? x o x ? ? Exercice points Calculer a l ? aide d ? un d ?eveloppement limit ?e les limites des fonctions suivantes en x a x ?? sin x x b x sin x ?? x c x sin x ?? x R ?eduisant les fractions aux d ?enominateurs communs on obtient x ?? sin x a x x sin x x ?? sin x b x x sin x x ?? sin x c x x sin x Comme x ?? sin x x o x a x x x o x o x qui tend vers z ?ero lorsque x ? Dans la suite on utilisera Xn ?? Y n X ?? Y Xn ?? Xn ?? Y Y n ?? pour faire appara tre x ?? sin x dans les autres fractions ? On a alors b x x o x x o x x o x ? quand x ? En ?n le num ?ereteur de c x est x o x x x sin x sin x x o x x x o x x o x ? x o x x o x x o x Comme le d ?enominateur est x o x c x n ? a pas de limite lorsque x tend vers z ?ero C Exercice points Calculer les primitives des fonctions suivantes f x x ln x g x e x sin x h x ecos x sin x Par parties deux fois il vient x ln x dx x ln x ?? x ln x ?? x ln x dx x ln x ?? x ln x dx x x ln x ?? x dx x ln x ?? x ln x x x On passe en complexes e x sin x dx i e x ix ?? e x ?? ix i ?? e x ix i e x ?? ix ?? i dx Multipliant par les conjugu ?es et regroupant les termes r ?eels et imaginaires ?? i e x ix ?? i e x ?? ix e x e ix ?? e ?? ix ?? ie x e ix e ?? ix i i i e x sin x ?? e x cos x On pose u cos x donc u ?? sin u du et ensuite on int egre par