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Corrige optimisation 1 Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées ENSTA - http www ensta fr Travaux dirig ?es Optimisation Analyse convexe S ?eance Existence d ? un minimum Convexit ?e Exercice Soit A ?? IRn? n une matrice sym ?etrique et b un vect

Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées ENSTA - http www ensta fr Travaux dirig ?es Optimisation Analyse convexe S ?eance Existence d ? un minimum Convexit ?e Exercice Soit A ?? IRn? n une matrice sym ?etrique et b un vecteur de IRn On consid ere la fonction f x ?? IRn ?? ? x Ax ?? b x Soient ?min et ?max la plus petite et la plus grande valeur propre de A Montrer que ??x ?? IRn ?min x ? Ax x ? ?max x Montrer que f est d ?erivable sur IRn Calculer df x et ??f x pour x ?? IRn Supposons maintenant que A est sym ?etrique positive Montrer que dans ce cas A est inversible si et seulement A est d ?e ?nie positive Corrig ?e La matice A est sym ?etrique toutes ses valeurs propres ?i sont r ?eelles eventuellement nulles et elle admet une base de vecteurs propres orthonorm ?es B v v vn Avi ?ivi pour i n et vi vj ?ij pour i j n Pour tout vecteur x ?? IRn on a donc n n n x xivi Ax xiAvi ?ixivi et i i i n Ax x ?ix i i soit ?nalement n n min i ?i xi ? Ax x ? max i ?i xi i i Pour tout h ?? IRn on a f x h A x h x h ?? b x h Ax x Ax h Ah h ?? b x ?? b h f x Ax ?? b h Ah h Si on pose h Ah h h alors Ah h ? A h ?? lim h h ? Soit df x h Ax ?? b h et ??f x Ax ?? b Commentaire Dans le cas g ?en ?eral A non sym ?etrique f x x A AT x ?? b x df x h A AT x ?? b h et ??f x A AT x ?? ? b Ce document est mis à votre disposition par l'ENSTA sous couvert de la licence Creative Commons CEcole Nationale Supérieure de Techniques Avancées ENSTA - http www ensta fr Travaux dirig ?es Supposons que A soit inversible Soit w tel que Aw w On va montrer que w est en fait ?egal az ?ero Soient d ?? IRn d et ? Comme A est positive et sym ?etrique ? A w ? d w ? d ? Aw d ? Ad d En mettant ? en facteur puis en faisant tendre ? vers dans le facteur restant on obtient Aw d ? Comme c ? est valable pour toute direction d ?? IRn on en d ?eduit que Aw ce qui conduit en ?n a w par hypoth ese sur A La r ?eciproque est ais ?ee et classique En e ?et si A est d ?e ?nie-positive Aw entra ne que Aw w et donc que w par cons ?equent A est inversible Exercice Soit f IRn sym ?etrique b ??