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Les paramètres de dispersion Paramètres de dispersion: 1/Ecart absolu moyen 2

Les paramètres de dispersion Paramètres de dispersion: 1/Ecart absolu moyen 2/Variance 3/Ecart –type 4/Coefficient de variation Paramètres de dispersion: Les paramètres de position sont insuffisants pour caractériser complètement une série. Deux séries différentes peuvent avoir la même moyenne sans se répartir nécessairement de la même façon autour de cette moyenne. Elles peuvent être plus ou moins étalées; ce sont donc les caractéristiques de dispersion qui vont permettre de décrire le degré d’étalement de chaque série. Plus une série est étalée (dispersée ) et plus elle est dite héterogène,et moins elle est étalée elle est alors dite homogène. Paramètres de dispersion: Exemple: Lors des essais de 2 machines de fabrication de tiges métalliques, le nombre de pièces obtenues durant 7 heures figure dans le tableau suivant: Paramètres de dispersion: Heure 1ere 2eme 3eme 4eme 5eme 6eme 7eme Machine A (nb pièces) 47 56 61 63 64 64 65 Machine B (nb pièces) 15 25 55 63 64 64 134 Paramètres de dispersion: La question posée est laquelle de ces 2 machines est la plus déréglée si on sait que le nombre de pièces à fabriquer normalement est de 60 pièces? Si on compare les 2 machines A et B , on remarque qu’elles ont la même moyenne ( 60 pièces /heure ),cependant on remarque que les données(variables) de la 1ere série (A) sont plus proches de la valeur moyenne que celles de la 2eme série (B); on dit que la 1ere série est moins dispersée (étalée ) que la 2eme. La mesure de cette dispersion s’effectue par le biais de paramètres de dispersion tels que: écart absolu moyen,variance,écart-type . Ecart absolu moyen: Exemple: On relève les dépenses mensuelles (consommation :C ) en électricité d’une société: Paramètres de dispersion: Mois J F M A M J Ju A S O N D C (dh 1200 900 800 1400 2000 600 1800 2600 2800 1100 900 700 Paramètres de dispersion: Si on calcule la moyenne ( la consommation moyenne d’électricité) par mois:  X = 1200+900+800+1400+2000+600+…+700 12 X = 1400 DH/mois Paramètres de dispersion: Si on veut savoir de combien les différentes variables (xi ) s’éloignent (s ’écartent ) par rapport à la moyenne x (1400 dh/mois ),c’est-à-dire on cherche à savoir l’écart de consommation de chaque mois/moyenne. l’écart ei est donc : ei = xi - x On calcule alors les différents ei : explication 1.ogg Paramètres de dispersion: Mois J F M A M J Ju A S O N D C(dh) 1200 900 800 1400 2000 600 1800 2600 2800 1100 900 700 ei=xi-x -200 -500 -600 0 600 -800 400 1200 1400 -300 -500 -700 Paramètres de dispersion: Nous obtenons les 12 écarts par rapport à la moyenne, mais comme on ne peut pas garder 12 valeurs en vrac, on est obligés de les réduire à leur moyenne, on va donc calculer l’écart moyen : em = ∑ ei = ∑ ( xi – x ) N N Rq: les i vont de 1 n explication 2 (2).ogg Paramètres de dispersion: Et donc : em = -200-500-600+0+600+……..-700 12 em = 0 On se rend compte que l’écart moyen est nul, et ne permet pas de donner plus d’informations. explication 3.ogg Paramètres de dispersion: Donc, l’écart moyen étant toujours nul on va utiliser la valeur absolu ( valeur toujours positive ) des écarts pour résoudre ce problème, on calcule alors : l’écart moyen absolu (eam ). eam = ∑ | xi - x | N Et si ni ≠ 1 ,on a alors : eam = ∑ ni × | xi - x | N explication 4.ogg Paramètres de dispersion: Mois J F M A M J Ju A S O N D C(dh 1200 900 800 1400 2000 600 1800 2600 2800 1100 900 700 ei -200 -500 -600 0 600 -800 400 1200 1400 -300 -500 -700 |ei| 200 500 600 0 600 800 400 1200 1400 300 500 700 Paramètres de dispersion: L’eam est alors : eam = 200+500+600+0+……..+700 12 eam = 600 dh On peut dire que la consommation de cette société s’écarte en moyenne de 600 dh par rapport à la consommation moyenne qui est de 1400 dh explication 5.ogg Ecart absolu moyen : Exemple 2 : Une enquête a été réalisée dans une société pour déterminer le salaire mensuel (dh ) de ses employés. Ecart absolu moyen: Salaire.(dh) Nb empl.(ni) Centres(xi) Ni × xi | xi – x | ni × | xi – x | [ 0-1000[ 30 500 15 000 1085 32 550 [1000-1500[ 25 1250 31 250 335 8375 [1500-2000[ 14 1750 24 500 165 2310 [2000-2500[ 9 2250 20 250 665 5985 [2500-3000[ 12 2750 33 000 1165 13 980 [3000-3500[ 6 3250 19 500 1665 9990 [3500-4000] 4 3750 15 000 2165 8660 Total 100 158 500 81 850 explication6.ogg Ecart absolu moyen: Questions : 1/ Calculer le salaire moyen. 2/Calculer l’écart absolu moyen. Remarque : tous les calculs étant faits directement sur le tableau, il reste à faire la dernière application numérique. Ecart absolu moyen: X = 158500 = 1585 dh 100 eam = 81 850 = 818.50 dh 100 Le salaire mensuel moyen est de 1585 dh et les salaires des employés s’écartent en moyenne de 818.50 dh de ce salaire moyen Variance: Dans ce cas pour calculer l’écart moyen on va utiliser le carrés des valeurs (au lieu de la valeur absolue ) pour éviter que cet écart moyen ne soit nul. rappelez vous ! écart moyen = ∑ ( xi - x )² N Si ni ≠ 1 écart moyen = ∑ ni × ( xi - x )² N Variance: Remarquez ! Ici on a calculé non pas le vrai écart mais l’écart au carré! Et donc on ne peut pas l’appeler écart moyen! On l’appelle alors : Variance Variance (v ) = ∑ ( xi x )² N Si ni ≠ 1 Variance ( v ) = ∑ ni × ( xi - x )² N explication 7.ogg Variance: La variance est donc la moyenne des carrés des écarts, il est donc indispensable pour calculer la vraie moyenne des écarts d’extraire la racine carrée de la variance. On calcule alors le 2eme paramètre de calcul de la dispersion d’une série nommé : Ecart-type . Ecart-type = √ variance explication 8.ogg Ecart-type : L’écart-type (σ ) est donc le 2eme ( avec eam ) paramètre de dispersion ,pour le calculer il est indispensable de calculer la variance en premier. Ecart-type = √ ∑ ( xi - x )² N Si ni ≠ 1 Ecart-type (σ ) = √ ∑ ni × ( xi -x )² N Ecart-type : Exemple 1 (ni = 1) : On relève les dépenses mensuelles en électricité dune société(exemple déjà vu pour le calcul de l’eam ). Ecart-type : Mois J F M A M J Ju A S O N D xi 1200 900 800 14 00 200 0 600 180 0 260 0 280 0 1100 900 700 xi - x -200 -500 - 600 0 600 -800 400 1200 1400 -300 -500 -700 (xi-x)² 4000 0 250 000 360 000 0 360 000 640 000 160 000 1440 000 1960 000 900 00 250000 490 000 Ecart-type :  x = 1400 dh (déjà calculée ) v = 40000 + 250000 + 360000……..+ 490000 12 v = 6040000 = 503 333,33 12 σ = √ 503 333,33 = 709,45 dh Ecart-type : Remarque : On a estimé la dispersion de cette série en calculant les 2 paramètres de dispersion : eam = 818,50 dh σ = 709,45 dh On remarque que les 2 paramètres ne sont pas égaux bien qu’ils représentent la dispersion de la même série et présentent au contraire une petite différence ceci est exliqué par le fait que le carré ne concerne que l’écart et non l’ensemble de la formule. Ecart-type : Exemple 2 : On reprend également l’exemple déjà vu lors du calcul de l’eam et qui concerne l’échantillon des employés d’une société selon leur salaire mensuel (dh ). Remarques: *La moyenne x est déjà calculée: x = 1585 dh *Tous les calculs seront faits directement sur le tableau sauf les applications numériques Ecart-type : Salaire(dh) Centres(xi) Effectif (ni) Xi - x ( xi – x)² Ni × ( xi – x )² [0-1000[ 500 30 -1085 1 177 225 35 316 750 [1000-1500[ 1250 25 -335 112 225 2 805 625 [1500-2000[ 1750 14 165 27 225 381 150 [2000-2500[ 2250 9 665 442 225 3 980 025 [2500-3000[ 2750 12 1165 1 357 225 16 286 700 [3000-3500[ 3250 6 1665 2 772 225 16 633 350 [3500-4000] 3750 4 2165 4 687 225 18 748 900 Total 100 94 132 500 Ecart-type : x = 1585 dh v = 94 132 500 = 941 325 100 σ = √ 941 325 = 970,32 dh Paramètres de dispersion: Bilan: Pour estimer la dispersion d’une série on doit calculer l’un des 2 paramètres de dispersion * Soit l’écart absolu moyen ( eam uploads/Industriel/ cours-de-statistique.pdf