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Corrige tdinfo 1 TD Groupes Exercice a Prouvez que dans un groupe il y a unicité de l ? élément neutre Si il y en a deux disons e et e alors e e e car e est neutre et e e e car e est neutre Donc e e b Prouvez que dans un groupe il y a unicité de l ?

TD Groupes Exercice a Prouvez que dans un groupe il y a unicité de l ? élément neutre Si il y en a deux disons e et e alors e e e car e est neutre et e e e car e est neutre Donc e e b Prouvez que dans un groupe il y a unicité de l ? inverse d ? un élément Soit a un élément quelconque d ? un groupe Soit e l ? élément neutre de ce groupe Soient b et b ? deux inverses de a Alors ab ab ? e Donc b ab b ab ? Donc ba b ba b ? associativité mais ba e Donc b b ? c Prouvez que dans un groupe G on a ab - b- a- On vient de voir qu ? il y a unicité de l ? inverse Donc il su ?t ici de montrer que b- a- est bien un inverse de ab et ce sera le seul Or ab b- a- a b b- a- associativité a a- e De même b- a- ab b- a- a b associativité b- b e Donc b- a- est bien l ? inverse de ab c ? est-à-dire ab - b- a- d Prouvez que dans un groupe x- - x Ceci signi ?e que x est l ? inverse de x- Soit que x x- x- x e Or puisque est l ? inverse de x on a bien x x- x- x e Exercice Montrez que si a x et y sont éléments d ? un même groupe G alors a x a y si et seulement si x y Si a x a y alors en composant à gauche par l ? inverse de a on obtient a - a x a- a y d ? o? par associativité a - a x a- a y d ? o? e x e y d ? o? x y C Montrez que dans un groupe si a et b sont deux éléments du groupe l ? équation a x y admet toujours une solution unique en x En e ?et a x y implique en composant à gauche par a - que x a- y Et réciproquement cette valeur de x convient puisque a a- y a a- y e y y De même pour l ? équation x a y Même chose que ci-dessus en composant cette fois ci à droite par a - Montrez que dans la table de la loi d ? un groupe ?ni chaque ligne et chaque colonne contient exactement une et une seule fois tous les éléments du groupe Ceci résulte immédiatement des deux propriétés ci-dessus En e ?et la colonne de a contient tous les a x o? x parcourt tous les éléments du groupe Et de même la ligne de a contient tous les x a o? x parcourt tous les éléments du groupe Exercice Soit G un groupe et H un sous groupe de