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Devoir analyse ii Universit ?e Sidi Mohamed Ben Abdellah Ecole Normale Sup ?erieure de Fes Devoir no Filiere LPESPC Module Analyse II Ann ?ee Universitaire - Resp Youssef Ouakrim Question de cours Donner la d ?e ?nition des sommes de Darboux S P f et s P

Universit ?e Sidi Mohamed Ben Abdellah Ecole Normale Sup ?erieure de Fes Devoir no Filiere LPESPC Module Analyse II Ann ?ee Universitaire - Resp Youssef Ouakrim Question de cours Donner la d ?e ?nition des sommes de Darboux S P f et s P f ou f a b ? R fonction born ?ee sur a b et P une subdivision de a b Donner la d ?e ?nition de l ? int ?egrale au sens de Riemann de f Application Soit f ? R d ?e ?nie par f x si x ?? Q ?? si x ?? Q ?? a Calculer S P f et s P f b f est -elle int ?egrable au sens de Riemann Exercice ? t Lnt Etudier la nature de t dx Calculer sa valeur Exercice Soit f R ? R une fonction continue v ?eri ?ant x ??M tel que ??x ?? R on a f x ? M f t dt Montrer que l ? application g d ?e ?nie par g x exp ??M x x f t dt est d ?ecroissante sur R Montrer que f est nulle sur R Exercice Soit f ? ? R une fonction continue tel que ? f t dt est convergente Montrer que pour tout x ? on a x x tf t dt F x ?? F t dt x x x ou F x f t dt Montrer que lim x ? ? x x tf t dt Exercice On consid ere l ? ?equation di ? ?erentielle et l ? ensemble suivants L ?? x y xy ?? x x log x x sur R ? x E f R ? R continue f x sin x f t exp x ?? t dt ??x Cx On pose F x exp ??t f t dt pour tout x Montrer que si f ?? E la fonction F est solution d ? une ?equation lin ?eaire L R ?esoudre l ? Equation lin ?eaire L En d ?eduire l ? ensemble E Exercice Soit l ? ?equation di ? ?erentielle suivante E x y x x y y sur R ?? ? ? Soit f une solution de E sur R On pose g f tan g sur Montrer que g est une solution d ? une ?equation di ? ?erentielle E ?? ? ? R ?esoudre E sur R ?esoudre E sur R C