Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Ds 6 sup Devoir surveillé n ? Durée H Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation de la copie Problème On rappelle que dans un anneau H si a b ?? H tels que ab ? ba alors n ??n ?? ? a ? b ? n ? ? Cknakbn ??k o? ??k ?? ? ? n ?? ??

Devoir surveillé n ? Durée H Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation de la copie Problème On rappelle que dans un anneau H si a b ?? H tels que ab ? ba alors n ??n ?? ? a ? b ? n ? ? Cknakbn ??k o? ??k ?? ? ? n ?? ?? Ckn ? n k ? n ??k ? k ? Soient M ? ? ? la ?-algèbre des matrices carrées d ? ordre à coe ?cients réels et ses élèments ?? ?? ?? ?? M ? J ? I ? A ? ? M ?? I ? Exprimer A en fonction de A et en déduire l ? expression de An pour tout entier naturel n ? On convient de poser Z ? I pour tout Z ?? M ? ? ? Exprimer M comme combinaison linéaire de A et de I et en déduire pour tout n entier naturel non nul l ? expression de M n comme combinaison linéaire de A et de I On écrira M n sous la forme M n ? unA ? vnI Donner sous forme matricielle la matrice M n Calculer J et en déduire J n pour tout entier non nul n La matrice J est elle inversible On pourra calculer le rang de J Soit E ? ??aI ? bJ tq ? a b ? ?? ? ? a Justi ?er rapidement que E est un sous espace vectoriel de M ? ? ? en donner une base et la dimension b E est-il une sous algèbre de M ? ? ? On commencera par montrer que E est stable par le produit de matrices c Quels sont les élèments de E qui sont inversible d ? inverse appartenant à E On pourra prendre deux élèments U ? aI ? bJ et V ? cI ? dJ et étudier l ? égalité UV ? I d Résoudre dans E les équations suivantes d ? inconnue X i X ? I ii X ? X d Montrer que M appartient à E et en déduire que ??n ?? ? M n ? ? ?? ? nI ? ? ?? ? ?? ? n ? J Soient f et g les endomorphismes de ? représentés respectivement dans la base canonique B ? ? e e e ? de ? par les matrices M et J On note également id l ? application identité de ? a On pose E ? ker ? g ? et E ? ker ? g ?? id ? Montrer qu ? une base de E est ? u ? o? u ? ? ?? ? Montrer qu ? une base E est ? u u ? o? u ? ? ? et u ? ? ?? ? b Montrer que ? ? E ? E Justi ?er que B ? ? u u u ? est une base de ? c Quelle est la matrice de g dans