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Ds2 math22 2014 MIMP - PC ?? ?? Math - Algèbre linéaire ?? ?? Devoir surveillé du mai ?? ?? Durée heures Les documents et appareils électroniques calculatrices téléphones portables etc sont interdits Toutes les réponses doivent être justi ?ées et vous soi

MIMP - PC ?? ?? Math - Algèbre linéaire ?? ?? Devoir surveillé du mai ?? ?? Durée heures Les documents et appareils électroniques calculatrices téléphones portables etc sont interdits Toutes les réponses doivent être justi ?ées et vous soignerez votre rédaction Le barème proposé est indicatif Exercice points Question de cours Soit F v v vp une famille de vecteur d ? un K-espace vectoriel E Donner les dé ?nitions suivantes ?? F est une famille libre ?? F est une famille génératrice de E ?? F est une base de E Question de cours Énoncer le théorème de la base incomplète Soient F v v v v une famille de vecteurs de R En supposant que v et v ne sont pas des vecteurs colinéaires quelles sont les valeurs possibles pour le rang rg v v v v Calculer u ?? v w pour F EB F F F ED F F u ?? F EB F F F ED F F v ?? F EB F F F ED F F w Rappels v ?? v désigne le produit vectoriel v v le produit scalaire Exercice points On considère dans R les vecteurs v v v v ?? ?? v Soit F l ? espace vectoriel engendré par v v v et soit G celui engendré par v v Calculer les dimensions respectives de F G F ?? G F G CProblème points De nombreuses questions sont indépendantes les unes des autres Soit f R ? R l ? application linéaire dé ?nie par f x y z x ?? y z x y ?? z x y ?? z a Déterminer une base du noyau de f b Donner la dimension du noyau de f c f est-elle injective a Calculer la dimension de l ? image de f b Déterminer une base de l ? image de f c f est-elle surjective Le noyau et l ? image sont-ils en somme directe dans R Soit B la base canonique de R On note A la matrice de f exprimée dans la base canonique A MatB f Calculer A Soit B v v v la base de R o? F EB F F F ED F F ?? v F EB F F F ED F F v F EB F F F ED F F v a Calculer la matrice de passage P de la base B à la base B b Calculer P ?? c En déduire la matrice B de f exprimée dans la base B B MatB f Calculer f v f v et f v Retrouver ainsi la matrice B a Décrire géométriquement l ? application linéaire f b Que vaut l ? application itérée f p f f f pour p ? p occurrences Exercice de recherche points Soit A ?? Mn K une matrice carrée Le but est de démontrer le théorème suivant Théorème Si A est inversible à droite c ? est-à-dire s ? il existe B ??