Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Exam probabilites avancees

Examen de e Session - Probabilités Avancées Réponses à mettre en ligne au plus tard le Vendredi juin à h La clarté de la rédaction et de la présentation ainsi que la précision des raisonnements et des arguments entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies Rappel Pour n ? n log n ? ? log n m m o? log désigne le logarithme népérien Problème Soit Zn n ? une suite de variables aléatoires et soit p Justi ?er soigneusement que ?? P Zn ? E Zn p p Montrer que si E Zn p converge vers lorsque n tend vers ? alors Zn n ? converge vers en probabilité Soit Sn n ? une suite de variables aléatoires On note n E Sn et ?n V ar Sn o? V ar désigne la vers ? variance Soit bn n ? une ? suite de réels telle que ?n b n converge vers lorsque n tend En utilisant la question précédente avec p montrer que Sn ?? n converge vers en probabilité bn Soit Xj j ? une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur l ? ensemble ?ni n On suppose que Xi représente le tirage à l ? instant i d ? une carte parmi n cartes de sport possibles Soit kn le premier instant o? on a obtenu k cartes di ?érentes En particulier Tn nn désigne le temps nécessaire pour obtenir un exemplaire de toutes les cartes Que représente la variable aléatoire Xn k kn ?? kn ?? k ? On dé ?nit n Xn k est-elle indépendante de Xn j pour ? j k Calculer P Xn k pour ? Calculer l ? espérance et la variance de la variable aléatoire Xn k Montrer que E Tn converge vers lorsque n tend vers ? n log n En utilisant le résultat de la question montrer que Tn ?? n n m m converge vers en probabilité lorsque n tend vers ? n log n Combien faut-il rencontrer en moyenne de personnes di ?érentes a ?n de conna? tre une personne née chaque jour di ?érent de l ? année En supposant qu ? une année comporte jours C