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Exercices a faire an num smi sma s4

UNIVERSITE HASSAN II Faculté des Sciences A? n Chock CASABLANCA Département de Mathématique Informatique Année Universitaire SMI SMA S EXERCICES SUPPLEMENTAIRES A FAIRE cha ?ai-num com Question de cours pt Donner la dé ?nition d ? un algorithme numérique pt Que signi ?e une méthode numérique stable pts Soit A une matrice Donner la valeur du rayon spectrale de A noté ?? A Quelle est l ? expression de ?? A dans le cas o? A est symétrique dé ?nie-positive ?? ?? pt Que signi ?e que la matrice A aij i n est à diagonale strictement dominante j n pts Est-ce que toute matrice inversible admet la décomposition LU Donner une condition nécessaire et su ?sante pour qu ? une matrice carrée admette une décomposition LU pts Donner les algorithmes et l ? ordre de convergence des méthodes suivantes a méthode de dichotomie b méthode de la sécante c méthode de Newton Cd méthode de la fausse position PARTIE II Exercice Donner un intervalle de séparation de longueur au plus pour chacune des racines positives de a sinx ?? x b x ?? ex c x ?? sin ? x d x ?? cos ? ?? ?? ? x ? ? ? ? e x ?? ?? ex ? Utiliser la méthode de dichotomie pour obtenir les racines avec décimales puis avec décimales en indiquant le nombre d ? itérations e ?ectuées Quel est le nombre d ? itérations nécessaires pour avoir une erreur d ? ordre ?? Exercice Soit f x x ?? x ?? On se propose de trouver les racines réelles de f Montrer que f possède une racine réelle ?? compris entre et Etudier la convergence des méthodes suivantes a ? ? ??xxno ? ? ?? x n ? ?? ?? ?? b ? ? xo ? ?? ? ?? ? ? xn ? xn ? c ? ? xo ? ? ? ? ?? ? xn ? x n ?? Exercice Soit f une fonction dérivable sur a b et ayant une racine unique ?? dans a b Soit F x x ?? f x on suppose que F est à valeurs dans a b et que F x ? q ? x ? a b On considère la suite xn F xn xo ? a b et n ? Montrer que xn ?? xn ? qn x ?? xo En déduire que x ?? ?? ? qn ?? q x ?? xo Conclure Exercice Utiliser une méthode itérative de votre choix pour déterminer les racines des équations suivantes avec décimales exactes a x ?? cos x b x tg x Exercice Soit I xo ??a xo a et F fonction strictement contractante sur I et véri ?ant F xo ?? xo ? ?? k a Montrer que l ? itération xo ? I xn F xn converge vers l ? unique point ?xe ? de F avec ? ? I Exercice COn se propose de déterminer la racine ?? de l ? équation